Fast sichere Martingalkonvergenz

23.09.2016, 14:13

Martingal1

Fast sichere Martingalkonvergenz

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} X_1, X_2 ... \end{eqnarray*}$ iid und nichtnegativ mit $\begin{eqnarray*} E(X_1)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_1=1)<1 \end{eqnarray*}$ . Zeige

a) $\begin{eqnarray*} M_n= \prod\limits_{i=1}^{n} X_i \end{eqnarray*}$ ist ein Martingal
b $\begin{eqnarray*} )M_n -> 0 f.s. \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} (1/n) log(M_n) -> c f.s. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Aufgabe a) habe ich hinbekommen

bei b)konnte ich mit dem Martingalkonvergenzsatz zeigen das es einen Grenzwert M gibt gegen den $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Wie komme ich nun darauf das dieser 0 ist?
Als Tipp wurde uns das Gesetz der großen Zahlen genannt, ich habe aber keine Ahnung wie ich das auf $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ anwenden soll...

Könnte mir jemand beim Ansatz helfen?

23.09.2016, 14:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Martingal1
Als Tipp wurde uns das Gesetz der großen Zahlen genannt, ich habe aber keine Ahnung wie ich das auf $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ anwenden soll...

Wende es doch auf $\begin{align*} \ln(M_n) = \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \end{align*}$ an.

Dabei kannst du nutzen, dass $\begin{align*} \ln \end{align*}$ eine streng konkave Funktion ist und deshalb laut Jensenscher Ungleichung

$\begin{align*} E(\ln(X_1))\leq \ln(E(X_1))=0\quad (*) \end{align*}$

gilt. Wobei Gleichheit in (*) nur dann gilt, wenn $\begin{align*} X_1=1 \end{align*}$ P-fs., was aber laut Voraussetzung $\begin{align*} P(X_1=1)<1 \end{align*}$ nun gerade nicht gilt. Also gilt echt < in (*) ...

23.09.2016, 14:53

Martingal

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Vielen Dank für die Antwort.

Habe ich soweit versucht. Mit dem starken Gesetz der großen Zahlen würd dann doch folgen

$\begin{eqnarray*} 1/n \sum\limits_{i=1}^{n} ln(X_i) -> E(ln(X_1))<ln(E(X_1))=ln(1)=0 \end{eqnarray*}$ f.s.

Aber wen ich dann von $\begin{eqnarray*} ln(M_n)-> ln(1) \end{eqnarray*}$ wieder auf $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ "zurückgehe", wäre es dann nicht $\begin{eqnarray*} M_n -> 1 \end{eqnarray*}$ f.s. ?

23.09.2016, 14:58

HAL 9000

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Hallo? Der Grenzwert ist nicht $\begin{align*} \ln(1)=0 \end{align*}$ , sondern der feste Wert $\begin{align*} c:=E(\ln(X_1))<0 \end{align*}$ . Warum wohl hatte ich mir eben soviel Mühe gegeben auf das echt < statt nur < hinzuweisen!

23.09.2016, 15:17

Martingal

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RE: Fast sichere Martingalkonvergenz
AAHH! Jetzt hab ichs gerafft warum des dann gegen 0 läuft.. vielen Dank!

und Aufgabe c) is damit ja auch sofort gelöst

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