Funktion zu Graph erstellen

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Cojabo Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion zu Graph erstellen
Meine Frage:
Ich möchte eine Funktion f(x) erstellen, die die Nullstellen 1,2 und 5 hat außerdem soll die Funktion f(x) f(4)=1 und f(3)=2

Nullstellen sind ja einfach (x-1)(x-2)(x-5) aber wie bringe ich die beiden anderen Bedingungen ins Spiel?
DANKE!

Meine Ideen:
(x-1)(x-2)(x-5) Nullstellen aber ich weiss nicht wie ich die Bedingungen f(4)=1 und f(3)=2 integriere eine der Beiden Bedingungen lässt sich leicht erfüllen indem man mit einem Faktor multipliziert aber wie kann man gewährleisten das beide Bedingungen erfüllt sind?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem 5 Wertepaare dieser Funktion bekannt sind, kann sie durch ein Polynom 4. Grades mit 5 Koeffizienten beschrieben werden.
Setze es also an



Mit den 5 Punkten wird somit ein lin. GS (für a, b, c, d, e) erstellt, indem jeweils rechts die x-Werte und links die zugehörigen y-Werte eingesetzt werden.

EDIT:
Das ist einmal so der konventionelle ("0815-) Weg".
Wenn man allerdings die Kenntnis ausnützt, wie das Polynom mittels der 3 Nullstellen als (wie du es ja auch beschrieben hast) und einem restlichen linearen Faktor aufgebaut ist, kann der Ansatz* auch so lauten:



Die beiden Konstanten a, b können nun mittels der restlichen beiden Wertepaare (3; 2) und (4; 1) ermittelt werden.

(*) Dieser Ansatz ergibt sich aus den normierten Polynomen und und deren beiden Vorfaktoren, die zu dem Faktor zusammengefasst wurden.

mY+
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast 5 Bedingungen, also könnte man eine Gleichung 4. Grades prüfen.
Du stellst ein lineares Gleichungssystem auf: 5 Gl. 5 Unbekannte.

Es ergibt sich:

Edit (mY+): Komplettlösung entfernt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Mythos hat schön den Standardansatz für solche Aufgaben beschrieben.
Da Cojabo aber schon erkannt hat, wie er die Nullstellen nutzen kann, halte ich den Ansatz in diesem Fall für sinnvoller.
Zum einen hat er es dann nur noch mit zwei Variablen zu tun, zum anderen spart er sich drei Gleichungen.

Wenn allerdings die Normaldarstellung gefordert ist, dann führt kein Weg an mythos Ansatz vorbei. Das Ausmultiplizieren der obigen Form ist dann nämlich aufwendiger als das Lösen des kompletten LGS.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe erstens die Komplettlösung von Willy entfernen müssen* und zweitens im EDIT meines ersten Beitrages noch eine Alternative aufgezeigt.

Wie zu sehen ist, trifft diese auch den Vorschlag von Helferlein.
Ich denke, dass dieser Weg einfacher ist, aus den beiden Gleichungen ergeben sich sehr schnell die Konstanten a, b

(*) @Willy, ich denke, ich brauche dazu nicht mehr viel zu sagen, du wirst schon wissen warum. Wenn nicht, lies bitte das Forumsprinzip!
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ok ...
Herleiten hätt er es sich ja selber müssen. Augenzwinkern

Was ich aufzeigen wollte war, dass diese Lösung nicht optimal ist, weil es eine weitere Nullstelle gibt, die nicht gefordert war.
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland

Was ich aufzeigen wollte war, dass diese Lösung nicht optimal ist, weil es eine weitere Nullstelle gibt, die nicht gefordert war.


was genau meinst du damit ?
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man das Gl.system für 4. Grades löst, bekommt man eine 4. Nullstelle bei x=4,5.
Es sind oben aber nur 3 Nullstellen gewünscht.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die geforderten Bedingungen sind trotzdem erfüllt. Also korrekt.

Es heißt nicht : ... hat genau nur diese 3 Nullstellen.

Oder bin jetzt zu pingelig verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Bist Du nicht, Dopap. Die gesuchte Funktion hat ja die angegebenen Nullstellen und mehr wird in der Aufgabe nicht behauptet.
Willyengland hat die Aussage einfach nur falsch interpretiert.
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