Winkel in der Vektorrechnung

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Kat1664 Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel in der Vektorrechnung
Meine Frage:
Ich bin schon bei mehreren Aufgaben auf das Problem der Winkelberechnung gestoßen. Normalerweise nimmt man dafür bei zwei Geraden den Kosinus und der Zähler wird durch die Betragsstriche ja immer positiv, nun aber hat das Lösungsbuch bei einigen Aufgaben die Striche weggelassen und dann den Gegenwinkel als Ergebnis behalten.


Meine Ideen:
Beispiel:

Wir haben den Vektor einer Ballonschnur und derselben nach anderem Windeinfluss : und sollen den Winkel zwischen den beiden Lagen der Ballonschnur berechnen.
Dann komme ich mithilfe des Kosinus auf 71,27°, das Lösungsbuch gibt aber 108,88°, also den Gegenwinkel vor. Wieso?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: winkel in der Vektorrechnung
Den Winkel zwischen 2 Vektoren berechnet man üblicherweise über die Formel

Dann kommt die vorgegebene Lösung raus. Falls du anders gerechnet hast, müßtest du hier den kompletten (falschen) Rechenweg angeben.
Kat1664 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: winkel in der Vektorrechnung
Wir haben die Formel so im Buch stehen:
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: winkel in der Vektorrechnung
Diese Version kannst du gleich aus dem Gedächtnis streichen, denn
- das paßt hier überhaupt nicht. In den Zähler gehört ein Skalarprodukt, das steht aber für das Kreuzprodukt.
- das Skalarprodukt ist vorzeichenbehaftet, daher sind auch die Betragsstriche im Zähler falsch.
- im Nenner steht ein Produkt von 2 Zahlen, das sollte man mit Malpunkt kennzeichnen.
Rechne doch nochmal mit meiner Formel.
Kat1664 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: winkel in der Vektorrechnung
Entschuldige, ich meine mit dem "x" ein normales "Mal"Zeichen.
Mit deiner Formel komme ich auf das Ergebnis in den Lösungen, nur verstehe ich dann nicht, warum in unserem LK Buch der Schnittwinkel mit den Betragsstrichen im Zähler berechnet wird. In der Zeichnung daneben ist auch der kleinere der zwei Winkel als Schnittwinkel eingezeichznet, was ja eigentlich bedeutet, dass der Zähler positiv sein muss, da sonst ja der Winkel größer ist durch das negative Vorzeichen.

Zudem habe ich gerade eben mal im Internet nachgeschaut und da sind beide Versionen zu finden, sowohl mit als auch ohne Betragsstriche im Zähler.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: winkel in der Vektorrechnung
Ich könnte mir folgende Erklärung vorstellen:
Der Winkel zwischen 2 Vektoren ist speziell dort anzusetzen, wo die beiden Fußpunkte aufeinandertreffen. Vektoren haben ja eine Richtung.
Betrachtet man hingegen den Schnittwinkel zweier Geraden, gibt man den kleineren der beiden Winkel an, die sich gegenseitig zu 180° ergänzen. Geraden sind insoweit keine gerichteten Objekte.
Deine Lösung ist vermutlich letzteres. Nimmt man jedoch die Richtung, in der sich die Ballons vom Fußpunkt aus befinden, als Spitze des Vektors, kommt die angegebene Lösung raus.
 
 
Kat1664 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: winkel in der Vektorrechnung
Also ist es hier der größere Winkel aufgrund der Richtung, die durch die Vektoren angegeben werden, weshalb dann auch das Skalarprodukt im Zähler negativ bleibt?

Vielen Dank für die umfassende Hilfe!
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