Messbarkeit Zufallsvariable

25.09.2016, 21:22

PhillyMathe

Messbarkeit Zufallsvariable

Meine Frage:
[attach]42649[/attach]

Meine Ideen:
Reicht es hier einfach zu sagen, dass t > c sein soll mit
$\begin{eqnarray*} X^{-1}((-\infty,t]) := \{\omega\in\Omega:\; X(\omega)\leq t\} \end{eqnarray*}$

25.09.2016, 21:31

10001000Nick1

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Nein, das reicht nicht. Zumindest ich sehe da keine Begründung der Aussagen in a) oder b).
Du hast einfach nur die Definition des Urbilds von $\begin{eqnarray*} (-\infty, t] \end{eqnarray*}$ hingeschrieben.

Nimm dir doch einfach mal die Definition einer messbaren Abbildung und überlege, was hier zu zeigen ist.

25.09.2016, 21:41

PhillyMathe

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Danke für die schnelle Antwort

[attach]42650[/attach]

Wenn ich dem Fakt glauben schenke, würde ich es so verstehen, dass ich hier $\begin{eqnarray*} X^{-1}((-\infty,t]) := \{\omega\in\Omega:\; X(\omega)\leq t\} \end{eqnarray*}$ für x(w)=c einsetze und daraus folgt dann, c <= t.

Und sorry, ja - ich wollte erstmal Aufgabenteil a) lösen. b) fällt mir einfacher.

25.09.2016, 21:53

10001000Nick1

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Zitat:

Original von PhillyMathe
Wenn ich dem Fakt glauben schenke,

Ja, das kannst du machen. Eigentlich ist Messbarkeit von Abbildungen ja so definiert, dass Urbilder messbarer Mengen wieder messbar sein müssen.
Weil aber die Intervalle der Form $\begin{eqnarray*} (-\infty, t] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ die Borelsche Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ erzeugen, reicht es, wenn man sich auf diese Intervalle beschränkt. (Auch wenn das hier nicht unbedingt nötig wäre, da die Funktion nicht allzu kompliziert ist. Der Beweis wird dadurch nicht kürzer. Augenzwinkern

)

Zitat:

Original von PhillyMathe
und daraus folgt dann, c <= t.

Wie du auf diese Schlussfolgerung kommst, verstehe ich nicht. Du hast nur die Definition des Urbilds eines Intervalls hingeschrieben; wie soll daraus irgendetwas folgen?

Du musst auf jeden Fall die Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} X^{-1}((-\infty, t]) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ zeigen - nicht nur für $\begin{eqnarray*} c\leq t \end{eqnarray*}$ .
Allerdings ist dabei eine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} t<c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t\geq c \end{eqnarray*}$ hilfreich.

25.09.2016, 22:08

Mathephilly2

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Wenn t >= c ist -> Omega
wenn t<c ist -> Leere menge .

Ist das der richtige intuitive Ansatz?

25.09.2016, 22:10

10001000Nick1

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Jetzt musst du nur noch begründen, warum $\begin{eqnarray*} \Omega\in\mathcal A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \emptyset\in\mathcal A \end{eqnarray*}$ gelten (was aber trivial ist, wenn du dir mal die Definition einer Sigma-Algebra anguckst Augenzwinkern

25.09.2016, 22:14

Mathephilly2

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zu b)

Sei a beliebig:
Sei A messbar:

{X <= a} = { Omega, a >= 1
Leere Menge, a < 0
A^C a e [0,1). }

Omega, A^C, Leere Menge e Sigma Algebra, denn A e Sigma Algebra.

25.09.2016, 22:16

Mathephilly2

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Ok super, jetzt habe ich die Vorgehensweise verstanden.

smile

Danke dir!

25.09.2016, 22:25

10001000Nick1

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OK.

Nur zur Sicherheit: Du meinst folgendes?

$\begin{eqnarray*} \{1_A\leq a\}=\begin{cases} \Omega &, a\geq 1 \\ \emptyset &, a<0 \\ A^c &, a\in[0,1) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und falls du es noch nicht gemacht hast, musst du dir dann auch noch die andere Richtung überlegen: $\begin{eqnarray*} 1_A \end{eqnarray*}$ messbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow A \end{eqnarray*}$ messbar.

smile

25.09.2016, 22:39

Mathephilly2

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Genau das habe ich gemeint. Danke dir. Ich werde zukünftig auch meine Beiträge wieder weniger schlampig gestalten.

Ich habe allerdings den Sinn dieser Definition noch nicht genau verstanden. Gibt es Abbildungen von Omega auf die reellen Zahlen die nicht messbar sind?

25.09.2016, 22:49

10001000Nick1

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Du hast ja gerade gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ messbar $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 1_A\ \mathcal A \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \mathcal B(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ -messbar.

Du kannst also einfach irgendeine Menge $\begin{eqnarray*} A\subseteq \Omega \end{eqnarray*}$ nehmen, die nicht messbar ist. Deren Indikatorfunktion $\begin{eqnarray*} 1_A \end{eqnarray*}$ ist dann nicht $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \mathcal B(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ -messbar.
(Eine solche Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gibt es nur, falls $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ nicht gleich der Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist. Im Fall $\begin{eqnarray*} \mathcal A=\mathcal P(\Omega) \end{eqnarray*}$ sind alle Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \mathcal B(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ -messbar.)

25.09.2016, 22:56

Mathephilly2

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Und das mit der Potenzmenge ist der Fall, da dies die größte Sigma-Algebra ist und ich somit keine Teilmengen von Omega finden kann, die nicht in der Sigma-Algebra enthalten sind?

25.09.2016, 22:59

10001000Nick1

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Genau; die Potenzmenge enthält alle Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Es sind dann also alle Teilmengen messbar.

Und dass in dem Fall alle Abbildungen messbar sind, kannst du dir ja mal anhand der Definition überlegen.

25.09.2016, 23:09

PhillyMathe

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Ja ich versuche mir das klar zu machen. Fällt mir noch etwas schwer.

Eins noch: D.h. wenn ich das Beispiel aus der Aufgabe b) nehme und für Skript A die kleinste Sigma-Algebra bestehend aus der Leeren Menge und Omega wähle, dann habe ich in diesem Fall keine messbare Abbildung, da das Urbild auch die Menge A und A^(c) enthält und diese Mengen nicht in der kleinsten Sigma-Algebra enthalten sind.

25.09.2016, 23:16

10001000Nick1

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Auch im Fall $\begin{eqnarray*} \mathcal A=\{\Omega, \emptyset\} \end{eqnarray*}$ gibt es messbare Abbildungen, nämlich genau die konstanten. Spezialfälle davon sind $\begin{eqnarray*} 1_{\Omega} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1_{\emptyset} \end{eqnarray*}$ .

Außer den konstanten gibt es dann aber keine weiteren messbaren Abbildungen.

25.09.2016, 23:18

PhillyMathe

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Alles klar super ! Danke, hast mir sehr geholfen etwas Licht ins Dunkle zu bringen Augenzwinkern

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