ML-Schätzer Exponentialverteilung, konsistent

26.09.2016, 09:18	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
ML-Schätzer Exponentialverteilung, konsistent Ist der Maximum Likelihood Schätzer der Exponentialverteilung $\begin{eqnarray} Exp(\alpha) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ konsistent? Das Bsp. soll gelöst werden mittels der Markov- Ungl. Hallo, Ich habe den Schätzer ausgerechnet: $\begin{eqnarray} \hat{\alpha}= \frac{n}{\sum_{j=1}^n X_j}= \frac{1}{\overline{X_n}} \end{eqnarray}$ Konsistent bedeutet: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0, \alpha>0: P_{\alpha} (\|\hat{\alpha} - \alpha\|> \epsilon) \rightarrow 0 (n\rightarrow \infty) \end{eqnarray}$ Die Markov-Ungleichung: $\begin{eqnarray} P_{\alpha} (\|\hat{\alpha} - \alpha\|> \epsilon) \le \frac{E(\|\hat{\alpha} - \alpha\|)}{\epsilon} \end{eqnarray}$ Ich weiß dass die Summe von n exponentialverteilten Zufallsvariablen Gammaverteilt ist mit Paramteren $\begin{eqnarray} 2, \alpha \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} S_n:= X_1+...+X_n \sim G(n, \alpha), f_{S_n} (x)= \frac{\lambda^n}{(n-1)!} x^{n-1} e^{- \alpha x} 1_{[0, \infty)} (x) \end{eqnarray}$ Ich kann mittels $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ umformen auf: $\begin{eqnarray} \overline{X_n}= \frac{1}{n} S_n \end{eqnarray}$ Aber den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(\|\hat{\alpha} - \alpha\|)= E(\|\frac{n}{S_n} - \alpha\|) \end{eqnarray}$ auszurechnen scheint schwierig zu sein?

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