charakteristische Funktion Zufallsvektor

28.09.2016, 12:31	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
charakteristische Funktion Zufallsvektor Gegeben seien zwei Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer Dichte $\begin{eqnarray} f(x,y)= 2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0 \le x,y; x+y \le 1 \end{eqnarray}$ und 0 sonst. Berechne die charakteristische Funktion des Zufallsvektor $\begin{eqnarray} (X,Y) \end{eqnarray}$ Hallo Sei $\begin{eqnarray} u= (u_1, u_2) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi_{(X,Y)} (u)= E( e^{i u_1 X + i u_2 Y}) = \int_{\mathbb{R}^2} e^{iu_1x+iu_1y} f_{(X,Y)} (x,y) d(x,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2 \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x} e^{i (u_1x+u_2y)} dy dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2 \int_{x=0}^{x=1} e^{iu_1x} \frac{1}{i u_2} e^{i u_2y} \|_{y=0}^{y=1-x} dx = 2 \int_{x=0}^{x=1} \frac{e^{iu_1x}}{iu_2} [ e^{iu_2 (1-x)}-1] dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{2* e^{iu_2}}{i u_2} \int_{x=0}^{x=1} e^{ix (u_1-u_2)} dx -\frac{2}{iu_2} \int_{x=0}^{x=1} e^{iu_1x}dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =- \frac{2 e^{iu_2} (e^{iu_1-u_2i}-1)}{u_2 (u_1-u_2)} + \frac{2(e^{iu_1}-1)}{u_2u_1} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{2 u_1 (e^{iu_2}-1)- 2u_2 (e^{iu_1}-1)}{u_1u_2(u_1-u_2)} \end{eqnarray*}$ Passt das so? Hauptsächlich eben von den ersten zwei/drei Zeilen meines Lösungsweges.
28.09.2016, 13:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Man könnte höchstens noch einwenden: Was ist im Fall $\begin{align} u_1=u_2 \end{align}$ ? Auch dort bekommt man einen Wert, und zwar $\begin{align} \phi_{(X,Y)}(u_1,u_1) = \frac{2}{u_1^2} \left( (1-iu_1)e^{iu_1}-1 \right) \end{align}$ , was genau dem Grenzwert $\begin{align} u_2\to u_1 \end{align}$ deiner Formel entspricht (einfach "einsetzen" geht ja nicht wg. 0/0). EDIT: Ok, genau genommen betrifft der Einwurf auch die Fälle $\begin{align} u_1=0 \end{align}$ und $\begin{align} u_2=0 \end{align}$ mit $\begin{align} \phi_{(X,Y)}(0,u_2) = -\frac{2}{u_2^2} \left( e^{iu_2}-1-iu_2\right) \end{align}$ $\begin{align} \phi_{(X,Y)}(u_1,0) = -\frac{2}{u_1^2} \left( e^{iu_1}-1-iu_1\right) \end{align}$ . Und $\begin{align} \phi_{(X,Y)}(0,0)=1 \end{align}$ gilt natürlich sowieso.
28.09.2016, 15:18	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, die Fälle muss ich einzeln betrachten! Vielen dank! Liebe Grüße

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