charakteristische Funktion, Verständnisfrage

29.09.2016, 13:02	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
charakteristische Funktion, Verständnisfrage Hallo, Bekanntlich sind für zwei Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_1, X_2 \end{eqnarray}$ die charakteristischen Funktionen genau dann gleich wenn sie gleiche Verteilungen haben. Also die charakteristische Funktion bestimmt die Verteilung eindeutig. Außerdem hatten wir den Satz:Ist $\begin{eqnarray} X=(X_1,..,X_n) \end{eqnarray}$ eine Zufallsvektor so sind $\begin{eqnarray} X_1,..,X_n \end{eqnarray}$ genaudann unabhängig wenn $\begin{eqnarray} \phi_X (u_1,..,u_n)= \phi_{X_1} (u_1)..\phi_{X_n} (u_n) \end{eqnarray}$ Nun frage ich mich und meine Kommilitoninnen, wenn ich eine charakteristische Funktion eines Zufallsvektor $\begin{eqnarray} (X_1,X_2) \end{eqnarray}$ gegeben habe ( $\begin{eqnarray} \phi_{(X_1,X_2)} (s_1,s_2) \end{eqnarray}$ ) und diese Funktion $\begin{eqnarray} \phi_{(X_1,X_2)} \end{eqnarray}$ aufsplitten kann in ein produkt einer Funktion von der ersten Variable und einer Funktion der zweiten variable ( $\begin{eqnarray} \phi_{(X_1,X_2)} (s_1,s_2)= f(s_1)g(s_2) \end{eqnarray*}$ Kann ich dann schon etwas über die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen aussagen? Ich weiß ja apriori nicht ob das f und g charakteristische Funktionen sind? LG, MaGi
29.09.2016, 13:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufsplittung (sofern möglich) wird eindeutig unter der Zusatzforderung $\begin{align} f(0)=g(0)=1 \end{align}$ , was ja jede charakteristische Funktion erfüllen muss. Streng nach Definition ist $\begin{align} \phi_{(X_1,X_2)}(s_1,0) &= E\left[ e^{i(s_1\cdot X_1+0\cdot X_2)}\right] = E\left[ e^{is_1X_1}\right] = \phi_{X_1}(s_1)\\ \phi_{(X_1,X_2)}(0,s_2) &= E\left[ e^{i(0\cdot X_1+s_2\cdot X_2)}\right] = E\left[ e^{is_2X_2}\right] = \phi_{X_2}(s_2) \end{align}$ . Und $\begin{align} X_1,X_2 \end{align}$ sind unabhängig genau dann wenn $\begin{align} \phi_{(X_1,X_2)}(s_1,s_2) = \phi_{X_1}(s_1) \cdot \phi_{X_2}(s_2) \end{align}$ für alle $\begin{align} s_1,s_2 \end{align}$ gilt.
29.09.2016, 18:04	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dass haben wir nun verstanden. Bei einem alten Prüfungsbeispiel ist nun konkret für die charakteristische Funktion gefragt: $\begin{eqnarray} \phi_{(X_1,X_2)} (s_1, s_2):= \alpha(-is_1)^{\alpha} \Gamma (- \alpha, - is_1) e^{is_2^2} \end{eqnarray}$ ob die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_1, X_2 \end{eqnarray}$ unabhängig sind. Hier könnte man aufspalten als $\begin{eqnarray} \phi_{(X_1,X_2)} (s_1, s_2)= g(s_1)f(s_2) \end{eqnarray}$ , aber es wäre $\begin{eqnarray} g(0)=0 \end{eqnarray}$ . Also kann man mit dieser Aufsplittung in dem Fall nicht argumentieren. Mir kommt in dem Bsp. auch komisch vor,dass man ja sonst die charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ ausrechnet mit $\begin{eqnarray} \phi_{X_2} (s_2)= \phi_{(X_1,X_2)} (0, s_2)=0 \end{eqnarray*}$ was keine charakteristische Funktion ergibt.
29.09.2016, 20:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deine Gammafunktion mit zwei Argumenten nicht - was ist das?
29.09.2016, 23:18	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das hat mich auch gewundert. In der Vorlesung wurde definiert $\begin{eqnarray} \Gamma (a,z):= \int_a^{\infty} x^{z-1} e^{-x} dx \end{eqnarray}$ . LG, MaGi

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