Mengen Beweis Mathe Vorkurs

29.09.2016, 18:27	1234abcd	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen Beweis Mathe Vorkurs Meine Frage: Hi, ich bin in einem Mathe Vorkurs und da müssen wir bis morgen 3 Aufgaben lösen und auch abgeben. 2 der 3 Aufgaben habe ich auch schon lösen können, jedoch, weiß ich nicht genau, wie ich die letzte lösen bzw. beweisen muss. Da ich vor meinem Studium noch nie wirklich mit Mengen und Beweisen gearbeitet habe, bin ich um jede Hilfe bzw. Tipp dankbar Die Aufgabe: Es seien Mengen A, B und C gegeben mit den Eigenschaften A U(vereinigt) B = A U(vereinigt) C und A geschnitten mit B = A geschnitten mit C. Folgern Sie B=C Meine Ideen: Mein Ansatzt wäre erstmal zu sagen: Sei x Element von A U B --> x Elemt von A v (oder) x Element von B aber irgentwie komme ich ab da nicht weiter, weil ich noch nicht so ganz weiß, wie man solche Beweise aufstellt. Danke schonmal für alle Tipps! Anna Ps noch einGedanke von mir war, dass ich ja am Ende haben muss, das B Teilmenge von C ist und C Teilmenge von B, denn dann gilt ja B=C oder?
29.09.2016, 18:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir einen indirekten Beweis anbieten, wenn du den verstehst, hast du ein Zipfelchen Mathematik verstanden. Annahme $\begin{eqnarray} B \ne C \end{eqnarray}$ , ohne Einschränkung existiert ein $\begin{eqnarray} b \in B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \notin C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (A \cup B =A\cup C) \Rightarrow ((b\in B\Rightarrow b\in A\cup B)\Rightarrow b\in A \cup C) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (b\in A\cup C \wedge b\notin C)\Rightarrow b\in A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b\in A\wedge b\notin C\Rightarrow b\notin A\cap C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b\in A\wedge b\in B\Rightarrow b\in A\cap B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b\in A\cap B\wedge b \notin A\cap C\Rightarrow A\cap B\ne A\cap C \end{eqnarray}$ Widerspruch zur Voraussetzung, also Annahme falsch, also $\begin{eqnarray} B=C \end{eqnarray}$
29.09.2016, 19:02	1234abcd	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Elvis, also selber auf die Idee es anders herum mit dem Widerspruch zu beweisen bin ich nicht gekommen, aber ich kann es doch sehr gut nachvollziehen, was für Schritte du gemacht hast. Noch eine Frage: Kann man es auch direkt beweisen? Also ohne das mit dem Widerspruch zu machen oder würde das nicht gehen bzw. zu kompliziert sein?
29.09.2016, 20:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht sicher auch direkt, ist aber bestimmt nicht so elegant. Immer wenn es schwierig wird, einen direkten Beweis zu finden, versucht man es indirekt.
29.09.2016, 20:22	1234abcd	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, super dankeschön für die Antwort und Hilfestellung!
29.09.2016, 21:29	Nofeys	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein Tipp: Beweise sind i.A. leichter nachzuvollziehen, wenn man seine Gedanken ausschreibt und nicht nur Formeln hinschreibt. Ein direkter Beweis könnte dabei in etwa so aussehen: Sei $\begin{align} x\in B \end{align}$ . Fall 1: $\begin{align} x\in A \end{align}$ . Dann folgt $\begin{align} x\in A\cap B \end{align}$ , also nach Voraussetzung $\begin{align} x\in A\cap C \end{align}$ und somit $\begin{align} x\in C \end{align}$ . Fall 2: $\begin{align} x\notin A \end{align}$ . Es gilt aber $\begin{align} x\in A\cup B \end{align}$ , also $\begin{align} x\in A\cup C \end{align}$ . Da $\begin{align} x\notin A \end{align}$ , muss $\begin{align} x\in C \end{align}$ gelten. Insgesamt also $\begin{align} B\subseteq C \end{align}$ . Die andere Richtung geht aus Symmetriegründen genauso.
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01.10.2016, 14:23	1234abcd	Auf diesen Beitrag antworten »
DAnke auch "Nofeys"! heißt es wenn ich es auch in die andere Richtung machen will, dass ich das ganze mit $\begin{eqnarray} x\in C \end{eqnarray}$ mache und dann genau die gleichen Schritte wie du gemacht hast ? Also Fall 1 und 2 wieder und dann wird $\begin{eqnarray} C\subseteq B \end{eqnarray}$ sein und weil B eine Teilmenge von C ist und C dann auch von B kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray} B=C \end{eqnarray}$ gelten muss?
01.10.2016, 14:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es. Die Formulierung "ich kann sagen, dass ..." finde ich nicht so gut. Ein Beweis ist objektiv richtig, und er ist nicht von deiner subjektiven Meinung abhängig.

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