Triviale Topologie und Hausdorff Eigenschaft

02.10.2016, 14:57

Dukkha

Triviale Topologie und Hausdorff Eigenschaft

Hallo,

Ich versuche 2 Aussagen zu beweisen und weiss nicht, ob meine Argumentation stimmt:

1. Sei $\begin{eqnarray*} (X,\tau) \end{eqnarray*}$ ein beliebiger topologischer Raum und $\begin{eqnarray*} (Y,\tau_y) \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum mit der trivialen Topologie. Dann ist $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ stetig.

Beweis: Angenommen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht stetig. Dann müsste das Urbild jeder abgeschlossenen / offenen Menge nicht abgeschlossen / offen sein. Da aber im Bild nur $\begin{eqnarray*} \{Y,\emptyset\} \end{eqnarray*}$ offen sind und $\begin{eqnarray*} f(X)=Y \end{eqnarray*}$ gilt und zudem $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ offen ist, ist hier das Urbild einer offenen Menge offen. Leider weiss ich nicht wie ich zeigen kann, dass für ein $\begin{eqnarray*} U\subset X \end{eqnarray*}$ für das gilt $\begin{eqnarray*} f(U)=\emptyset \end{eqnarray*}$ , die Eigenschaft dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ offen oder abgeschlossen ist, gelten muss.

2. Sei $\begin{eqnarray*} (X,\tau_x) \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum mit der trivialen Topologie und $\begin{eqnarray*} (Y,\tau_y) \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum der Hausdorff ist. Dann ist $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ stetig, wenn es eine konstante Abbildung ist.

Beweis: Angenommen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht konstant. Das heisst wir hätten für zwei beliebige $\begin{eqnarray*} x,y\in Y \end{eqnarray*}$ zwei offene Kugeln $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_{\epsilon}(x)\cap \mathcal{O}_{\epsilon}(y)=\emptyset \end{eqnarray*}$ wegen der Hausdorff-Eigenschaft. Das heisst aber, dass $\begin{eqnarray*} f^{1}(\mathcal{O}_{\epsilon}(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{1}(\mathcal{O}_{\epsilon}(y)) \end{eqnarray*}$ offene Mengen sein müssen und zudem
$\begin{eqnarray*} f^{1}(\mathcal{O}_{\epsilon}(x))\cap f^{1}(\mathcal{O}_{\epsilon}(y))=\emptyset \end{eqnarray*}$ gelten muss, was ein Wiederspruch zur trivialen Topologie ist.

Vielen Dank.

EDIT: Mist, falsches Forum. Bitte verschieben.

02.10.2016, 15:39

10001000Nick1

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RE: Triviale Topologie und Hausdorff Eigenschaft

Zitat:

Original von Dukkha
Beweis: Angenommen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht stetig. Dann müsste das Urbild jeder abgeschlossenen / offenen Menge nicht abgeschlossen / offen sein.

Nein. Die Negation von $\begin{eqnarray*} \forall x: p(x) \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} \forall x: (\neg p(x)) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \exists x: (\neg p(x)) \end{eqnarray*}$ .
( $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ ist irgendeine Aussageform).

Oder in Worten: Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht stetig wäre, gäbe es eine offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , deren Urbild nicht offen ist.

Wozu aber einen Widerspruchsbeweis? Ein direkter Beweis ist hier ein Zweizeiler.
Du musst zeigen: Das Urbild jeder (in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ) offenen Menge ist offen (in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ). Jetzt gibt es aber nur zwei offene Teilmengen von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ . Du kannst dir also einfach für beide Mengen überlegen, was deren Urbild ist und warum es offen ist.

Zitat:

Original von Dukkha
2. Sei $\begin{eqnarray*} (X,\tau_x) \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum mit der trivialen Topologie und $\begin{eqnarray*} (Y,\tau_y) \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum der Hausdorff ist. Dann ist $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ stetig, wenn es eine konstante Abbildung ist.

Sollst du da vielleicht eine Äquivalenz zeigen? $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig, wenn es konstant ist.

So, wie es in der Aufgabe steht, ist es zwar auch richtig, aber nicht sonderlich interessant: Jede konstante Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen ist stetig, unabhängig davon, was das für topologische Räume sind.

Zu deinem Beweis: Du zeigst hier die Richtung " $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht konstant $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f \end{eqnarray*}$ nicht stetig". Das ist äquivalent zu " $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f \end{eqnarray*}$ konstant".

$\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist kein metrischer Raum, es ist also überhaupt nicht definiert, was hier Bälle mit einem bestimmten Radius sein sollen. Wenn du die offenen Kugeln durch disjunkte offene Umgebungen ersetzt (diese existieren aufgrund der Hausdorff-Eigenschaft), und zudem noch $\begin{eqnarray*} f^{\textcolor{red}{-}1} \end{eqnarray*}$ schreibst, ist das in Ordnung. Du solltest nur noch etwas genauer erläutern, warum das letzte nun ein Widerspruch ist. ( $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ müssen dazu noch bestimmte Eigenschaften erfüllen.)

02.10.2016, 17:36

Dukkha

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RE: Triviale Topologie und Hausdorff Eigenschaft
Vielen Dank für diese ausführliche Antwort!

Edit (Nick): Komplettzitat entfernt. Der Beitrag steht doch direkt darüber.

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