Dichte von Z=Yexp(-X) bei verschiedenen Verteilungen

06.10.2016, 17:31	rechnerin123	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte von Z=Yexp(-X) bei verschiedenen Verteilungen Meine Frage: Sei X eine exponentialverteilte ZV mit Paramater ? > 0 und Y eine geometrisch verteilte ZV mit Erfolgswahrscheinlichkeit p ? (0,1). Seien X und Y unabhängig. Berechnen Sie den Erwartungswert und Varianz von a) $\begin{eqnarray} Z_1 := X^2 Y + XY \end{eqnarray}$ , b) $\begin{eqnarray} Z_2:=Yexp(-X) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Den Erwartungswert habe ich so berechnet: $\begin{eqnarray} E\|X\| = \int_{-\infty }^{\infty } \! \|x\| f_X(x) \, dx = \int_{0 }^{\infty } \! \lambda \|x\| e^{-\lambda x} \, dx = ... = \frac{1}{\lambda} < \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E\|Y\| = \sum\limits_{n\in \mathbb N } n (1-p)^{n-1} p < \infty \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \|1-p\| < 1 \forall p\in (0,1) \end{eqnarray}$ (Eigentlich wissen wir auch, dass der EW geometrischer Verteilungen 1/p ist) X,Y unabhängig $\begin{eqnarray} \Rightarrow E(XY)=EX\cdot EY \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(X^2) = \int_{-\infty }^{\infty } \! x^2 f_X(x) \, dx = \int_{0 }^{\infty } \! \lambda x^2 e^{-\lambda x} \, dx = ... = \frac{2}{\lambda^2} < \infty \end{eqnarray}$ X^2, Y unabhängig $\begin{eqnarray} \Rightarrow E(X^2Y)=E(X^2) EY \end{eqnarray}$ Also ist der Erwartungswert von $\begin{eqnarray} Z_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(Z_1) = E(X^2 Y+XY) = E(X^2)EY + EX\cdot EY = \frac{2+\lambda}{\lambda^2 p} \end{eqnarray}$ Die Frage ist: Wie berechne ich hier die Varianz? Komme mit meinen Formeln nicht weiter! und wie berechne ich EW und Varianz bei b)? Muss ich dazu die Dichte von $\begin{eqnarray} Z_2 \end{eqnarray}$ berechnen? Wenn ja: Wie? Ich blicke da irgendwie gerade nicht wirklich durch
06.10.2016, 20:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{align} V(Z_1)=E(Z_1^2)-(E(Z_1))^2 \end{align}$ , du musst also noch $\begin{align} E(Z_1^2) = E((X^2Y+XY)^2) = E(X^4Y^2+2X^3Y^2+X^2Y^2) = E(X^4+2X^3+X^2)\cdot E(Y^2) \end{align}$ berechnen, mit ähnlichen Methoden wie oben beim Erwartungswert. Zu b) Auch hier folgt aus der Unabhängigkeit $\begin{align} E(Z_2)=E(Y)\cdot E(\exp(-X)) \end{align}$ , wobei $\begin{align} E(\exp(-X)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp(-x)\cdot f_X(x) ~ \dd x = \int\limits_0^{\infty} \exp(-x)\cdot \lambda e^{-\lambda x} ~ \dd x = \lambda \int\limits_0^{\infty} e^{-(\lambda+1) x} ~ \dd x = \ldots \end{align}$ und genauso dann $\begin{align} V(Z_2)=E(Z_2^2)-(E(Z_2))^2 \end{align}$ mit $\begin{align} E(Z_2^2) = E(Y^2\exp(-2X)) \end{align}$ ... eine hübsche Rechnerei.
06.10.2016, 21:16	rechnerin1234	Auf diesen Beitrag antworten »
ah vielen Dank! Brett vorm Kopf gehabt! Manchmal bin ich auch echt blöd! Vielen Dank!

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