Erfolgsserie bei einem Bernoulli-Prozess (Markov-Ketten)

09.10.2016, 20:50

goofy2742

Erfolgsserie bei einem Bernoulli-Prozess (Markov-Ketten)

Meine Frage:
Hallo zusammen,

sitze gerade vor der folgenden Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme:

Ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0 < p < 1 werde beliebig oft wiederholt. Zu bestimmen sei die erwartete Anzahl an Versuchen, die benötigt werden, bis erstmalig k Erfolge hintereinander auftreten.

Für p = 1/6 und k = 3 entspricht dies der Frage, wie oft ein fairer, sechsseitiger Würfel im Erwartungswert geworfen werden muss, bis erstmals drei Sechsen hintereinander gewürfelt worden sind.

Das Problem soll sich durch Modellierung mit einer Markov-Kette elegant lösen lassen.

Meine Ideen:
Sei $\begin{eqnarray*} (Z_n)_{n\in\mathbb N_0} \end{eqnarray*}$ eine Markov-Kette auf $\begin{eqnarray*} E=\{0,\dots,k\} \end{eqnarray*}$ mit Übergangswahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} p_{i,i+1}=p,\quad p_{i,0}=1-p\quad\text{f\"ur }0\leq i\leq k-1 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} p_{k,k}=1 \end{eqnarray*}$ (stationärer Zustand).

Viel weiter komme ich nicht :p Danke vorab für jede Hilfe!

10.10.2016, 15:57

HAL 9000

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Nicht über Markovkette, aber mit diesen Überlegungen geht es alternativ so:

Ist $\begin{align*} X_k \end{align*}$ die zufällige Anzahl Versuche, bis erstmalig $\begin{align*} k \end{align*}$ hintereinander liegende Erfolge auftauchen, so gilt mit den Bezeichnungen im verlinkten Beitrag $\begin{align*} v_k(n)=P(X_k>n) \end{align*}$ , das bedeutet für den Erwartungswert $\begin{align*} E(X_k) = \sum_{n=0}^{\infty} v_k(n) \end{align*}$ .

Nutzt man nun $\begin{align*} v_k(0)=\ldots=v_k(k-1)=1,v_k(k)=1-p^k \end{align*}$ sowie für $\begin{align*} n>k \end{align*}$ die Iteration $\begin{align*} v_k(n) = v_k(n-1)-p^k(1-p)v_k(n-k-1) \end{align*}$ , so erhält man

$\begin{align*} E(X_k) &= k+1 - p^k + \sum_{n=k+1}^{\infty} (v_k(n-1)-p^k(1-p)v_k(n-k-1)) = k+1 - p^k + \sum_{n=k}^{\infty} v_k(n) - p^k(1-p) \sum_{n=0}^{\infty} v_k(n)\\ & = k+1 - p^k + E(X_k) -k - p^k(1-p) E(X_k) \end{align*}$

Umgestellt nach $\begin{align*} E(X_k) \end{align*}$ ergibt das $\begin{align*} E(X_k) = \frac{1-p^k}{p^k(1-p)} \end{align*}$ .

P.S.: Bin gespannt auf den Markovkettenweg. (EDIT: Ok, kann's mir denken.)

10.10.2016, 16:57

thx2

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ok, kann's mir denken

So vielleicht?

$\begin{eqnarray*} E(X_k)=\sum\limits_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{p} \right )^{n} = \frac{1-p^k}{p^k(1-p)} \end{eqnarray*}$

10.10.2016, 17:07

HAL 9000

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Ich sehe eine Formel, aber keine dazu passende Einbettung in eine MK. Insofern kann ich das weder bejahen noch verneinen.

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