Verteilung defekter Baugruppen

10.10.2016, 20:14

cmplx96

Verteilung defekter Baugruppen

Hallo zusammen,

ich habe verstehe eine Beispielaufgabe nicht, zu der ich leider keine Lösung finde.
Sie lautet:
Die Endfertigung benötigt für ein Produkt 5 Halterungen.
Wegen Lieferproblemen wurden Halterungen bei 3 verschiedenen Lieferanten gekauft und auf dem Lager nicht getrennt gehalten.
Die Endmontage erhält ein Los von 1000 Halterungen (200 von
Lieferant A, 500 von B und 300 von C).
Lieferant A „beichtet“ zu spät, dass seine Halterungen nicht die
Mindestfestigkeit aufweisen.
Wie viele der Endprodukte müssen aussortiert werden, da sie
mindestens eine Halterung von A enthalten?
Die „Urne“ ist hier das Lieferlos, die „Kugeln“ sind
die Halterungen, die „Farben“ sind die Lieferanten!

Meine Ideen:
Da im Aufgabentext nicht explizit steht, wieviele Endprodukte hergestellt werden, gehe ich davon aus, dass alle Halterungen verbaut werden.
Bei 5 Halterungen pro Endprodukt und 1000 Halterungen macht das 200 Endprodukte.
Da es 200 defekte Halterungen gibt, kann es doch auch sein, dass in jedem Endprodukt genau eine defekte Halterung verbaut wurde.
Irgendwie kommt mir das aber nicht richtig vor.

Danke schonmal!

10.10.2016, 23:05

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde sagen , dass hier 200 Lose a 5 Teile vorliegen.
Die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Teil beträgt 0.2 , für ein ordentliches Teil 0.8 ,wenn die Lieferanten B und C werden zusammengelegt werden.

Wir erwarten im Mittel 1 defektes Teil je Los, also ist $\begin{eqnarray*} \mu =1 \end{eqnarray*}$

Doch wie ist die Anzahl D der defekten Teile pro Los verteilt = diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion ?

$\begin{eqnarray*} P(D=k)= \frac {\mu^k}{k!}e^{-\mu} \end{eqnarray*}$ (Poissonverteilung)

das Ereignis "Los enthält mindestens ein defektes Teil" = defektes Los wäre somit die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{k=5}\frac {\mu^k}{k!}e^{-\mu} \end{eqnarray*}$ was aber unhandlich ist. Zum Glück geht das über das Gegenereignis "Los enthält kein defektes Teil" =gut

$\begin{eqnarray*} p(gut)=p(D=0)=... \frac 1e \approx 0.36 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \approx 0.64 \end{eqnarray*}$ für ein defektes Los.

Wieviel Lose müssten nun im Mittel aussortiert weden ?

----------------------------------------------------------------
Edit: Kombinatorik und Urnenmodell find ich nicht so passend.
Verteilung defekter Baugruppen wäre doch ansprechender Augenzwinkern

11.10.2016, 19:54

cmplx96

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort!
Ich bin mir nicht sicher, weil das, was du vorgerechnet hast, noch nicht in der Vorlesung behandelt wurde. Intuitiv würde ich sagen, wenn es 200 Lose gibt und die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Teilchen bei 0.64 liegt, müssten im Mittel 128 Lose aussortiert werden.

11.10.2016, 20:13

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ja richtig !
Nicht Teilchen sondern Baugruppe oder Los.

Die Verteilung der defekten Teile in einer Baugruppe oder Los geht natürlich auch exakt mit der Binomialverteilung.

vergleiche mal , P(D=0)=... dürfte ja kein Problem sein. smile

11.10.2016, 20:25

cmplx96

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, dankeschön smile

12.10.2016, 08:26

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
Die Verteilung der defekten Teile in einer Baugruppe oder Los geht natürlich auch exakt mit der Binomialverteilung.

Nein, exakt ist das nicht, da eine endliche Menge von Teilen vorliegt und die Ereignisse deshalb nicht unabhängig voneinander sind. Aber die näherungweise Berechnung mit

$\begin{eqnarray*} P(D=0)\approx (1-0.8^5) \approx 0.67232 \end{eqnarray*}$

dürfte besser sein als die Näherung mit der Poissonverteilung.

12.10.2016, 10:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die genaue Verteilung der zufälligen Anzahl $\begin{align*} Y \end{align*}$ defekten Endprodukte ist wegen der Abhängigkeiten ziemlich knifflig auszurechen, aber zumindest der Erwartungswert ist einfach zugänglich: Für die Indikatorvariable

$\begin{align*} X_k = \begin{cases} 0 & \;\mbox{Endprodukt $k$ ist Ok}\\ 1 & \;\mbox{Endprodukt $k$ ist defekt}\end{cases} \end{align*}$

gilt ja $\begin{align*} E(X_k)=P(X_k=1) = 1-\frac{\binom{800}{5}}{\binom{1000}{5}} = \frac{138\,840\,221\,251}{206\,257\,281\,255} \approx 0.67314 \end{align*}$ , d.h. ganz nah an Huggys Näherung mit der Binomialverteilung. Entsprechend haben wir für $\begin{align*} Y=\sum_{k=1}^{200} X_k \end{align*}$ dann den Erwartungswert $\begin{align*} E(Y)=200\cdot E(X_1) \approx 134.634 \end{align*}$ .

Auch an die Varianz $\begin{align*} V(Y) \end{align*}$ kommt man über diese Indikatorvariablen $\begin{align*} X_k \end{align*}$ noch ganz gut ran.

12.10.2016, 11:48

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke
"exakt" war ungenau , war mehr im Sinne von besser gemeint und als (gute) Näherung angesichts von 200 Baugruppen. Augenzwinkern

warum ich gleich mit "Poisson" loslegte ist mir selbst nicht klar.

und HALs Berechnung beruht auf der hypergeometrischen Verteilung. Das ist nun exakt.
Eine genaue Verteilung war ja nicht gefragt.

12.10.2016, 13:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
Eine genaue Verteilung war ja nicht gefragt.

Weiß ich nicht - die Formulierung

Zitat:

Original von cmplx96
Wie viele der Endprodukte müssen aussortiert werden, da sie mindestens eine Halterung von A enthalten?

ist ziemlich weit auslegbar: Genaue Verteilung? Erwartungswert? 90%-Quantil? Wieviel es im (allerdings ziemlich unwahrscheinlichen) worst-case sind, hat ja cmplx96 selbst schon oben beantwortet: Alle 200. Big Laugh

12.10.2016, 14:19

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denk' da immer an Rosinenbrötchen

Ein Bäcker macht Teig für 1000 süße Brötchen und gibt aus Versehen 200 Rosinen zu.
Ein Kunde kauft prompt 50 Stück, will aber eigentlich nur süße Brötchen.

Der Bäcker meint, da hätte er trotz Rosinen gute Chancen ... Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Verteilung defekter Baugruppen

Verwandte Themen