Ungleichungen

10.10.2016, 23:10

idontkn0w123

Ungleichungen

Hallo, ich bin alte Klausuren am durchrechnen (leider ohne Lösungen..), jedoch weiß ich nicht, wie ich die folgenden 3 Ungleichungen angehen soll:

1) 2e^(2x) + 3e^(-x) <= 3e^x + 2

2) lnWURZEL(2x-3) - 1/2ln5x = 1/2ln(6-x) - lnWURZEL(5)

3) 2ln(3-x) - ln(x-1) = 2ln3 - ln(2x-1)

Bei 3) würde ich wie folgend vorgehen, jedoch stört dabei der Faktor 2 vor ln,
sonst würde per Quotientenformel gehn: ln(a/b) = lna - lnb links und rechts ein ln ( ... / ...) = ln (... / ...) stehen und man könnte die ln wegstreichen...

Bei 1) und 2) hab ich 0 Ahnung, da + bzw - Zeichen auf den beiden Seiten sind. Mit * oder / krieg würd ich die Lösung hinkriegen, aber so kA...

Würde mich über eine fixe Antwort freuen

Grüße

11.10.2016, 07:09

Bürgi

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RE: Ungleichungen
Guten Morgen,

für 2) und 3) benutze die folgenden Logarithmen- und Potenzgesetze:

$\begin{eqnarray*} \log(a)+\log(b)=\log\left( a \cdot b \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log(a)-\log(b)=\log\left(\frac ab \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log(a^n)=n \cdot \log(a) \end{eqnarray*}$

daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \log(\sqrt[n]{a})=\frac1n \cdot \log(a) \end{eqnarray*}$

Die Gleichungen (wo ist das Un-?) so weit zusammenfassen, dass auf beiden Seiten ein Logarithmus steht und dann entlogarithmieren
(und nicht "wegstreichen" - auch wenn es so aussieht Big Laugh

)

11.10.2016, 07:20

Gast1110

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RE: Ungleichungen
1) Substituiere: e^x=z

2)

11.10.2016, 07:21

Gast1110

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RE: Ungleichungen
1) Substituiere: e^x=z

11.10.2016, 07:24

Gast1110

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RE: Ungleichungen
PS:
Eine Lösung kann man "sehen".

11.10.2016, 08:35

idontkn0w123

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Hab hier beim reinschreiben bei den 2 letzten das = statt < oder > geschrieben, aber darum gehts auch nicht smile

11.10.2016, 08:49

idontkn0w123

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RE: Ungleichungen

Zitat:

Original von Bürgi
Guten Morgen,

für 2) und 3) benutze die folgenden Logarithmen- und Potenzgesetze:

$\begin{eqnarray*} \log(a)+\log(b)=\log\left( a \cdot b \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \log(a)-\log(b)=\log\left(\frac ab \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log(a^n)=n \cdot \log(a) \end{eqnarray*}$

daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \log(\sqrt[n]{a})=\frac1n \cdot \log(a) \end{eqnarray*}$

Die Gleichungen (wo ist das Un-?) so weit zusammenfassen, dass auf beiden Seiten ein Logarithmus steht und dann entlogarithmieren
(und nicht "wegstreichen" - auch wenn es so aussieht Big Laugh

)

bei 3) also umschreiben

2ln(3-x) - ln(x-1) >= 2ln3 - ln(2x-1)
-> ln(3-x)^2 - ln(x-1) >= ln3^2 - ln(2x-1) /potenzregel (daran hab ich garnichtmehr gedacht Augenzwinkern

-> ln((3-x)^2)/(x-1)) >= ln(3^2/2x-1) /quotientenregel

dann ln weg und normal weiter.

bei 2)
lnWURZEL(2x-3) - 1/2ln5x >= 1/2ln(6-x) - lnWURZEL(5)

die 2x 1/2 ln (..) umschreiben nach lnWURZEL(...) / oder 3-te WURZEL wenns z.b. 1/3 * ln ... wäre

MfG

11.10.2016, 09:05

idontkn0w123

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RE: Ungleichungen

Zitat:

Original von Gast1110
1) Substituiere: e^x=z

beim substituieren muss dann aber das hoch -x ansgeschrieben werden als 1/e^x oder?

2e^(2x) + 3e^(-x) <= 3e^x + 2

- > 2e^(2x) + 1/(3e^x) <= 3e^x + 2

dann e^x = z

-> 2z^2 + 1/3z <= 3z +2
und dann? pq formel kann man ja wohl nicht verwenden wenn der mittlere term z^-1 ist bzw. 1/z

MfG

11.10.2016, 09:28

klarsoweit

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RE: Ungleichungen

Zitat:

Original von idontkn0w123
beim substituieren muss dann aber das hoch -x ansgeschrieben werden als 1/e^x oder?

2e^(2x) + 3e^(-x) <= 3e^x + 2

- > 2e^(2x) + 1/(3e^x) <= 3e^x + 2

Ja, aber bitte richtig: $\begin{eqnarray*} 3e^{-x} \neq \frac{1}{3e^x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von idontkn0w123
-> 2z^2 + 1/3z <= 3z +2
und dann? pq formel kann man ja wohl nicht verwenden wenn der mittlere term z^-1 ist bzw. 1/z

Da z positiv ist, kannst du einfach die Ungleichung mit z multiplizieren. Augenzwinkern

11.10.2016, 10:13

idontkn0w123

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Stimmt: 3e^-x = 3/e^x

noch eine Gleichung:

ln(2x+2)=2ln(3-x)-lnx

da ist ja dann der definitionsbereich R+

-> ln(2x+2)=ln(3-x)^2-lnx // potenzregel
-> ln(2x+2)=ln ((3-x)^2/x) // *e^()

-> 2x+2 = (3-x)^2/x
... beide seiten den bruch /x ...
-> ((2x+2)x)/x - (3-x)^2/x = 0
... umformen
-> (x^2 + 8x -9)/x = 0

das wäre dann 1x gültig wenn x = 0 oder x^2+8x-9 =0
für die quadratische ergibt sich x=-9 oder x=1 // FRAGE HIER, die -9 gehören ja dann nicht zur Lösung da ln -> R+ oder seh ich das falsch?

dann wär die Lösung ={0;1}

MfG

11.10.2016, 10:51

klarsoweit

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In der Tat gehört die -9 nicht zur Lösung. Aber warum die Null? verwirrt

11.10.2016, 11:03

idontkn0w123

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Zitat:

Original von klarsoweit
In der Tat gehört die -9 nicht zur Lösung. Aber warum die Null? verwirrt

Also nur 1 ?

11.10.2016, 11:14

klarsoweit

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Ja.

11.10.2016, 11:50

idontkn0w123

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hab noch eins gerechnet:

4e^x+e^-x = 5

Df = R

-> 4e^x+1/e^x = 5 //*e^x
-> 4e^(2x)+1 =5e^x //subst. e^x=z

-> 4z^2-5z+1=0

-> z1= 1/4 und z2= 1

Rücksubstitution:

z1: e^x = 1/4 // * ln()
x=ln(1/4) ~ - 1,386

z2: e^x=1 -> x=0

Lösung {ln(1/4); 0}

Korrekt? smile

11.10.2016, 12:31

klarsoweit

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