Gäste auf Tische verteilen

11.10.2016, 08:50	trie	Auf diesen Beitrag antworten »
Gäste auf Tische verteilen Hallo, ich bin beim lesen eines Buches auf folgendes Problem gestoßen. Zu einer Hochzeitsfeier sind 107 Gäste geladen, diese sollen auf 11 Tische mit je 10 Stühlen verteilt werden. Es geht hierbei um die Anzahl der verschiedenen Tischpläne, diese werden mit 11 ^ 107 „umrissen“. Den Autoren geht es hierbei lediglich um die Größe des Problems. Mich hat die Nacht nun die Frage umtrieben wie groß in etwa die Abweichung zur tatsächlichen Anzahl ist. Bin allerdings etwas eingerostet deshalb die Bitte ob jemand nachfolgende Gedankengänge korrigieren / sortieren / ergänzen könnte. Anhand der Angabe 11^107 gehe ich davon aus dass es lediglich darum geht welche Gäste an welchem Tisch sitzen sollen. 11 ^107 hieße hierbei dass für jeden der 107 Gäste ein Tisch gezogen wird. Da ein Tisch aber lediglich 10 Plätze hat werden die Tische ja irgendwann „zu machen“. Mit zunehmender Belegung wird dies wohl immer mehr ins Gewicht fallen. Und genau um diese Einfluss geht es mir. Folgende Überlegung: Für den ersten Tisch habe ich $\begin{eqnarray} \frac{110!}{10!(110-10)!} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 110 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten Gäste zu setzen. Ich nehme 110 da ich zu den 107 noch 3 „nicht existierende“ hinzukommen, so dass sich die Freien Plätze auf alle Tische verteilen können. Allerdings wird hierbei Leerplatz1 2 und 3 unterscheiden. Ich weiß aber gerade nicht wie ich diese Permutationen sinnig heraus bekomme … Für den 2. Tisch somit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 100 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ … . Zusammengefasst also: Möglichkeiten für 11 Tische: 110! . Permutationen für 11 Tische heraus kürzen, also noch geteilt durch 10! ^11 . -> $\begin{eqnarray} \frac{110!}{ 10!^{11} } \end{eqnarray}$ Wenn ja wäre die Abweichung $\begin{eqnarray} 11^{107} - \frac{110!}{ 10!^{11} } \end{eqnarray*}$ - „Leerplatz Permutationen“ . Fragen: 1. Ist die Berechnung soweit richtig? 2. Wie bekomme ich die „Leerplatzpermutationen“ heraus? 3. Gibt es irgend eine "griffigere / anschaulichere" Überlegung den Einfluss der limitierenden Tischkapazität zu erfassen? Gruß Tobias
11.10.2016, 09:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die reine Zuordnung von 110 Gästen auf 11 Tische zu je 10 Personen, d.h. ohne Sitzordnung an den Tischen selbst, ist die Anzahl $\begin{align} \frac{110!}{10!^{11}} \end{align}$ richtig. Bei nur 107 Gästen kann man so vorgehen: Man betrachtet alle Möglichkeiten, 3 Leerstellen auf 11 Tische zu verteilen, und rechnet in den einzelnen Fällen dann ähnlich wie oben. Im einzelnen: a) Alle drei Leerstellen an einem Tisch. Da gibt es 11 Auswahlen für diesen Leerstellentisch, und damit insgesamt $\begin{align} 11\cdot \frac{107!}{10!^{10}\cdot 7!} \end{align}$ Tischordnungen. b) Zwei Leerstellen an einem Tisch, die dritte an einem anderen. Dann gibt es $\begin{align} 11\cdot 10 \end{align}$ Auswahlen für diese beiden Tische, insgesamt dort $\begin{align} 11\cdot 10\cdot \frac{107!}{10!^9\cdot 9!\cdot 8!} \end{align}$ Tischordnungen. c) Jeweils eine Leerstelle an drei verschiedenen Tischen. Dann gibt es $\begin{align} \binom{11}{3} \end{align}$ Auswahlen für diese drei Tische, macht dann $\begin{align} \binom{11}{3}\cdot \frac{107!}{10!^8\cdot 9!^3} \end{align}$ Tischordnungen. Diese drei Anzahlen sind zu summieren.

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