Beweis durch vollständige Induktion

11.10.2016, 17:36

der_unkluge

Beweis durch vollständige Induktion

Meine Frage:
Und zwar muss ich beweisen dass für alle natürlichen Zahlen >= 4 gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=4}^{n} \frac{1}{k^2 - 5k +6} = 1 - \frac{1}{n-2} \end{eqnarray*}$

Meine Idee wäre die folgende:

Meine Ideen:
wenn ich ich n+1 einsetze bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{n + 1 -2} \end{eqnarray*}$
bzw
$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{n -1} \end{eqnarray*}$

möchte ich aber den Induktionsschritt gehen hänge ich (beim Umformen) genau hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)^2 - 5(n+1)+6} = \\ \\ \frac{1}{n^2-3n+2} = \\ \\ \frac{1}{(n-1)*(n-2)} \\ \end{eqnarray*}$

was bedeutet ich komme zu folgendem Schritt:
$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{n-2} + \frac{1}{(n-1)*(n-2)} \end{eqnarray*}$
von welchem ich aber NICHT auf das gewünschte Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{n -1} \end{eqnarray*}$

komme.

Kann mir jemand helfen, wo der Hund hier begraben liegt?

11.10.2016, 17:45

Mathema

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Zitat:

was bedeutet ich komme zu folgendem Schritt:
$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{n-2} + \frac{1}{(n-1)*(n-2)} \end{eqnarray*}$
von welchem ich aber NICHT auf das gewünschte Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} 1 - \frac{1}{n -1} \end{eqnarray*}$

komme.

Ich schon.

Wink

11.10.2016, 17:49

der_unkluge

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okay, jetzt bin ich verwirrt.

könntest du mir verraten wie? ich sitze seit stunden aber irgendwie hapert es, wenn ich es umforme komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{(n-1)+1}{(n-1)(n-2)} \\ \\ 1-\frac{n}{(n-1)(n-2)} \\ \\ \end{eqnarray*}$

aber hier wüsste ich nicht wie ich weiter kürzen könnte ???

11.10.2016, 17:54

Mathema

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Das ist der typische Fehler, den auch meine Fünftklässler immer machen. Da wird dann so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 6-3+2=6-5=1 \end{eqnarray*}$

Findest du den Fehler?

Richtig wäre allerdings:

$\begin{eqnarray*} 6-3+2=6-(3-2)=6-1=5 \end{eqnarray*}$

Das übertrage nun mal auf deine Aufgabe.

edit: Muss nun weg. Falls noch Fragen sind hilft aber bestimmt jemand anderes weiter. Übrigens Willkommen

noch mal.

11.10.2016, 17:59

der_unkluge

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danke für den denkanstoß,
sehr wohl finde ich den fehler in dem von dir gegebenen Beispiel,
jedoch bin ich wohl zu blöd um dieses prinzip auf mein beispiel zu übertragen.

und Hi Augenzwinkern

11.10.2016, 18:06

Leopold

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Ich habe dir den Fehler markiert:

Zitat:

Original von der_unkluge
wenn ich es umforme komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{(n-1) \color{red} + \color{black} 1}{(n-1)(n-2)} \end{eqnarray*}$

Übrigens: Muß die Aufgabe durch Induktion gelöst werden? Es handelt sich nämlich letztlich um eine Teleskopsumme:

$\begin{align*} \frac{1}{k^2 - 5k + 6} = \frac{1}{(k-3)(k-2)} = \frac{1}{k-3} - \frac{1}{k-2} \end{align*}$

Wenn man das von $\begin{align*} k=4 \end{align*}$ bis $\begin{align*} k=n \end{align*}$ aufsummiert, erhält man

$\begin{align*} 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n-4} - \frac{1}{n-3} + \frac{1}{n-3} - \frac{1}{n-2} = 1 - \frac{1}{n-2} \end{align*}$

Denn es bleiben nur der erste und der letzte Summand übrig, da sich die inneren Summanden gegenseitig wegheben.

11.10.2016, 18:17

der_unkluge

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Ja, es muss durch Induktion gelöst werden.
Das mit der Teleskopsumme war mir gerade etwas zu hoch unglücklich

Was ich nicht verstehe, warum wird das + in dem Fall ein Minus, das Minus in der Klammer (von n-1) jedoch nicht?

11.10.2016, 18:34

Leopold

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Und ich frage das Umgekehrte: Mit welchem Recht machst du da ein Plus hin?

Wie Mathema schon am Beispiel gezeigt hast, rechnest du so

$\begin{align*} 13-4+5=13-9=4 \ \ \color{red} \text{FALSCH!} \end{align*}$

Richtig ist jedoch

$\begin{align*} 13-4+5=9+5=14 \end{align*}$

Und wenn du unbedingt hinten anfangen willst, mußt du so rechnen:

$\begin{align*} 13-4+5 = 13 - (4-5) = 13 - (-1) = 14 \end{align*}$

Das Ganze nennt sich im Schulmathematikjargon Minusklammerregel.

11.10.2016, 18:53

der_unkluge

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ich glaube ich habe es verstanden,

würde mich freuen wenn du (oder jemand anders der smarter ist als ich) das verifizieren könnte?

ich habe

$\begin{eqnarray*} 1- \frac{1}{n-2} + \frac{1}{(n-1)*(n-2)} \end{eqnarray*}$

da im ersten Teil des Terms 1- steht, der darauffolgende Bruch als negative Zahl zu sehen, weshalb ich, beim auf den gemeinsamen Nenner bringen rechne

$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)*(n-1)}{(n-2)*(n-1)} \end{eqnarray*}$

daraus ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 1 (+) \frac{-n+1+1}{(n-2)(n-1)} = 1 (+) \frac{-n+2}{(n-1)(n-2)} = 1 (+) \frac{-1(n-2)}{(n-1)(n-2)} = 1- \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$

ist dieser Ansatz der richtige?

11.10.2016, 19:39

Leopold

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Warum setzt du das Pluszeichen in Klammern? Das muß ein richtiges Pluszeichen sein. Dann stimmt die Rechnung. Ich hätte es allerdings so gemacht:

$\begin{align*} 1 - \frac{1}{n-2} + \frac{1}{(n-1)(n-2)} = 1 - \left( \frac{1}{n-2} - \frac{1}{(n-1)(n-2)} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} = 1 - \left( \frac{n-1}{(n-1)(n-2)} - \frac{1}{(n-1)(n-2)} \right) = 1 - \frac{n-1-1}{(n-1)(n-2)} \end{align*}$

$\begin{align*} = 1 - \frac{n-2}{(n-1)(n-2)} = 1 - \frac{1}{n-1} \end{align*}$

11.10.2016, 20:17

der_unkluge

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okay, deine Variante ist wesentlich schöner.

Vielen Dank für die Hilfe nochmal!

<3

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