Herleitung oder Beweis für folgende Summe gesucht

11.10.2016, 18:52

Nichtgauß

Herleitung oder Beweis für folgende Summe gesucht

Hallo,
Ich nochmal hier.
Es geht wieder um eine Summe. Das verrückte ist, dass ich sie mir aus der rekursiven Beziehung durch einfaches Hinsehen herleiten kann. Aber weder die Gültigkeit beweisen, noch sie mathematisch herleiten kann.. Mir fehlt heute wohl etwas Schlaf - das ist zumindest meine Ausrede gegenüber mir selbst.. Big Laugh

Die Lösung von Wolfram Alpha sieht etwas anders aus, müsste aber passen..

$\begin{eqnarray*} g_{n}~=~f_{n}+t_{n}\cdot g_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_0~=~\sum\limits_{i=0}^{N} f_{i}\cdot\prod\limits_{j=0}^{i-1}t_{j} \end{eqnarray*}$
(Leeres Produkt sein =1)

An der Herleitung hätte ich mehr Interesse, als am Beweis als 'Notlösung'.

Einfaches Aufsummieren, oder -multiplizieren bringt mich irgendwie kein Stück weiter, bzw. sehe ich nicht wie ich dadurch bei der Summe landen soll..
Hat jemand einen Tipp für mich?!*

PS. Kennt eigentlich jemand eine freie Mathesoftware, die "step-by-step"-Lösungen anbietet (und sowas hier auch lösen kann)? *..oder einen Screenshot seiner entsprechenden Software Big Laugh

11.10.2016, 21:01

Dukkha

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Herleitung oder Beweis für folgende Summe gesucht
Diese Formeln machen für mich keinen Sinn.

$\begin{eqnarray*} g_0=\sum\limits_{i=0}^N f_i \prod\limits_{j=0}^{i-1}t_j \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ? Und ist das sicher das Folgenglied $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?
Meintest du vielleicht:

$\begin{eqnarray*} g_n=\sum\limits_{i=0}^n f_i \prod\limits_{j=0}^{i-1}t_j \end{eqnarray*}$

oder gar:

$\begin{eqnarray*} g_n=f_0 + \sum\limits_{i=1}^n f_i \prod\limits_{j=0}^{i-1}t_j \end{eqnarray*}$

Die zweite Formel:

$\begin{eqnarray*} g_n=f_n+t_n\cdot g_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist eine aufsteigende Beziehung die bis nach Unendlich geht.

$\begin{eqnarray*} g_0=f_0+t_0\cdot g_{1}=f_0+t_0\cdot (f_1+t_1\cdot g_{2})=f_0+t_0\cdot (f_1+t_1\cdot (f_2+t_2\cdot g_3)) \end{eqnarray*}$ usw.

Meintest du vielleicht:

$\begin{eqnarray*} g_n=f_n+t_n\cdot g_{n-1} \end{eqnarray*}$

11.10.2016, 21:28

Nichtgauß

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.
Dann lass mich noch folgendes ergänzen (wobei du es dir mit " $\begin{eqnarray*} g_0 = f_0+t_0\cdot (...) \end{eqnarray*}$ " eigentlich schon beantwortet hast):

Kurz gesagt: $\begin{eqnarray*} \infty \rightarrow N \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} g_0 \end{eqnarray*}$ sein Rekursionsanfang (und gesucht), $\begin{eqnarray*} g_{N+1}:=0 \end{eqnarray*}$
Ich habe mich jetzt für aufwärts zählen entschieden..

12.10.2016, 11:48

Dukkha

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \infty \to N \end{eqnarray*}$

verwirrt

Ich gehe davon aus, dass du $\begin{eqnarray*} N\to \infty \end{eqnarray*}$ meinst. Dein Beitrag ist äusserst kryptisch.

Also hab ich das richtig verstanden, deine Folge ist definiert als:

$\begin{eqnarray*} g_n=f_n+t_n\cdot g_{n+1} \end{eqnarray*}$

Dann lautet deine explizite Darstellung

$\begin{eqnarray*} g(n)=\begin{cases} f_0+\sum\limits_{i=1}^\infty f_i \prod\limits_{j=0}^{i-1} t_j & \quad n=0\\ \sum\limits_{i=n}^\infty f_i \prod\limits_{j=0}^{i-1} t_j & \quad n>0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und du möchtest wissen, wie man auf die Formel oben mit Hilfe von Berechnungen kommt?

Nun du könntest eine Formel mit Hilfe von erzeugenden Funktionen herleiten, versuche mal den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty g_{n}x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty f_nx^n + \sum\limits_{n=0}^\infty g_{n+1}x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \implies\sum\limits_{n=0}^\infty g_{n}x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty f_nx^n + \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(g_{n}-f_n)x^n}{t^n} \end{eqnarray*}$

Ich bin kein Spezialist für Diskrete Mathematik und das kann mitunter auch ganz schön rechenlastig werden.

12.10.2016, 15:35

Nichtgauß

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \infty \rightarrow N \end{eqnarray*}$ War wohl zugegebenermaßen zu kurz. Damit wollte ich andeuten, dass man als obere Grenze nicht bis unendlich, sondern nur bis N gehen muss, da $\begin{eqnarray*} g_{N+1} = 0 \end{eqnarray*}$ und damit auch alle weiteren Glieder 0 sind.
Die untere Grenze ist stets 0. Wenn man so will, ist ein $\begin{eqnarray*} g_0(N) \end{eqnarray*}$ gesucht. So, wie du es in deinem vorletzten Beitrag auch für $\begin{eqnarray*} g_0 \end{eqnarray*}$ ausgeschrieben hast, nur, dass z.B. bei $\begin{eqnarray*} g_3 = 0 \end{eqnarray*}$ Schluss ist (N = 2).

Ich weiß jetzt nicht, ob es einen Unterschied macht, aber so richtig kann ich deinen Ansatz nicht nachvollziehen. Fehlt da nicht ein $\begin{eqnarray*} t_n \end{eqnarray*}$ ?

12.10.2016, 19:30

Dukkha

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, bei der ersten Zeile ist mir das $\begin{eqnarray*} t_n \end{eqnarray*}$ entwischt, aber auf der zweiten ist es ja wieder zurückgekommen. Augenzwinkern

Naja also die Notation $\begin{eqnarray*} \infty \to N \end{eqnarray*}$ ist schlichtweg falsch.

Dann must du die Rekursion aber anderst aufschreiben, so dass es klar ist, dass sie bei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ aufhört. Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} g_n=\begin{cases}f_n+t_ng_{n+1} &\quad n\leq m\\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Der Ansatz über erzeugende Funktionen geht aber auch für den Fall, dass nur endliche Folgenglieder nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sind.

Sollte $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty g_n x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty f_n x^n + \sum\limits_{n=0}^\infty t_ng_{n+1} x^n \end{eqnarray*}$ sein.

Weiter gilt $\begin{eqnarray*} g_{n+1}=\frac{g_n-f_n}{t_n} \end{eqnarray*}$

12.10.2016, 21:43

Nichtgauß

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Naja also die Notation $\begin{eqnarray*} \infty \to N \end{eqnarray*}$ ist schlichtweg falsch.

Naja "falsch".. Ich sage mal eher "umgangssprachlich". Big Laugh

Zitat:

Dann must du die Rekursion aber anderst aufschreiben, so dass es klar ist, dass sie bei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ aufhört. Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} g_n=\begin{cases}f_n+t_ng_{n+1} &\quad n\leq m\\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Oder eben $\begin{eqnarray*} g_{N+1}~=~0 \end{eqnarray*}$ . Macht ja keinen Unterschied. Dass man, wenn man abwärts zählt, bei 0 aufhört ist genau genommen auch nur Konvention.

Zitat:

Sollte $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty g_n x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty f_n x^n + \sum\limits_{n=0}^\infty t_ng_{n+1} x^n \end{eqnarray*}$ sein.

Weiter gilt $\begin{eqnarray*} g_{n+1}=\frac{g_n-f_n}{t_n} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dich richtig verstehe, kommt man bei deinem Ansatz bei $\begin{eqnarray*} 0~=~0 \end{eqnarray*}$ raus..?! Was auch kein Wunder ist, wenn man eine Gleichung quasi umgeformt in sich selbst einsetzt.

15.10.2016, 12:19

Dukkha

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine geschlossene Form zu finden war schwieriger als ich dachte, vorallem weil $\begin{eqnarray*} t_n,f_n \end{eqnarray*}$ unbestimmt sind. Mit erzeugenden Funktionen habe ich es nicht geschafft. Weiterhin hat sich herausgestellt, dass es nur geht, wenn du einen Anfangswert $\begin{eqnarray*} g_0 \end{eqnarray*}$ definierst.

Hier ein neuer Ansatz:

$\begin{eqnarray*} g_{n}=f_n+t_ng_{n+1} g_{n+1} =\frac{1}{t_n}g_n-\frac{f_n}{t_n} \\ g_{n+1} =\frac{1}{t_n}\left(\frac{1}{t_{n-1}}g_{n-1}-\frac{f_{n-1}}{t_{n-1}}\right)-\frac{f_n}{t_n} \\ g_{n+1} =\frac{1}{t_n t_{n-1}} g_{n-1} - \frac{f_{n-1}}{t_n t_{n-1}} - \frac{f_n}{t_n} \\ g_{n+1} =\frac{1}{t_n t_{n-1}}\left(\frac{1}{t_{n-2}}g_{n-2}-\frac{f_{n-2}}{t_{n-2}}\right) - \frac{f_{n-1}}{t_n t_{n-1}} - \frac{f_n}{t_n} \\ \cdots \\ g_{n+1} =\frac{1}{\prod_{k=0}^n t_k} g_0 - \sum_{k=0}^n \frac{f_k}{\prod_{j=k}^n t_j} g_{n} =\frac{1}{\prod_{k=0}^{n-1} t_k} g_0 - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f_k}{\prod_{j=k}^{n-1} t_j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(n)\begin{cases}\frac{1}{\prod_{k=0}^{n-1} t_k} g_0 - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f_k}{\prod_{j=k}^{n-1} t_j} & n<m\\ 0 & n\geq m \end{cases} \end{eqnarray*}$

15.10.2016, 14:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Basierend auf

$\begin{align*} g_n = \begin{cases}f_n+t_ng_{n+1} &\;\mbox{für}\; n\leq m\\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$

kann man die explizite Darstellung

$\begin{align*} g_n = \sum\limits_{i=n}^m f_i \prod\limits_{j=n}^{i-1} t_j\qquad (*) \end{align*}$

per "Rückwärtsinduktion" $\begin{align*} n=m+1,m,m-1,\ldots,1,0 \end{align*}$ beweisen:

Induktionsanfang $\begin{align*} n=m+1 \end{align*}$ : Da haben wir in (*) eine "leere" Summe, die per Konvention gleich Null ist, in Übereinstimmung mit $\begin{align*} g_{m+1}=0 \end{align*}$ .

Induktionsschritt $\begin{align*} (n+1)\to n \end{align*}$ für alle $\begin{align*} 0\leq n\leq m \end{align*}$ :

$\begin{align*} g_n = f_n+t_ng_{n+1} \stackrel{IV}{=} f_n + t_n\sum\limits_{i=n+1}^m f_i \prod\limits_{j=n+1}^{i-1} t_j = f_n + \sum\limits_{i=n+1}^m f_i \prod\limits_{j=n}^{i-1} t_j = \sum\limits_{i=n}^m f_i \prod\limits_{j=n}^{i-1} t_j \end{align*}$ ,

fertig (dabei geht bei $\begin{align*} i=n \end{align*}$ das "leere" Produkt $\begin{align*} \prod_{j=n}^{n-1} t_j=1 \end{align*}$ ein).

15.10.2016, 17:01

Nichtgauß

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Dukkha:

Auf diese Art, nur eben ohne vorher umzuformen, habe ich mir auch meine ursprüngliche Formel hergeleitet. Das ist aber keine mathematische, sondern eine Herleitung durch geschicktes Hinsehen.

Ich denke, der Mensch kann sowas gut (warum eigentlich? -Evtl., weil er bis ins Unendliche rechnen kann, ohne dort ankommen zu müssen..), aber es dürfte schwer werden, das einem Computer bzw. einer Mathesoftware beizubringen. ...Ist denn keiner hier, der Zugang zu Wolframs step-by-step-Lösung hat? Bei dem, was da als Lösung heraus kommt, müssen sich auf dem Lösungsweg zwischen der Brust und dem Auge noch einige weitere Körperteile befinden...

@ HAL 9000:
Jau, ich Trottel.. Ich habe es mir inzwischen mit der absteigenden Zählweise bewiesen, und zwar auf genau die selbe Weise wie du. Eine andere naheliegende Möglichkeit gibt es ja auch nicht, denke ich.
Was mich dann zu der Frage geführt hat (zu meiner Verteidigung: nur kurz - ich war mit dem Beweis schon zufrieden Big Laugh

), warum ich es denn nicht, wie geplant, mit der aufsteigenden hinbekomme. Ist natürlich klar; wenn man ein n braucht, sollte man es auch drin lassen..

Also jedenfalls Danke euch! Besser eine Not- als garkeine Lösung.

Neue Frage »

Antworten »

Herleitung oder Beweis für folgende Summe gesucht

Verwandte Themen