Division von Indikatorfunktionen

12.10.2016, 12:05	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Division von Indikatorfunktionen Hallo zusammen, Ich möchte die bedingte Dichte von $\begin{eqnarray} f_{Y\|X} \end{eqnarray}$ berechnen. Ich habe die Dichte $\begin{eqnarray} f_X=2x\cdot 1_{\{0<x<1\}} \end{eqnarray}$ aus der gemeinsamen Dichte $\begin{eqnarray} f_{X,Y}=\frac{4y}{x^3}\cdot 1_{\{0<x<1,0<y<x^2\}} \end{eqnarray}$ berechnet. Die Formel für die bedingte Dichte lautet nun $\begin{eqnarray} f_{Y\|X}=\frac{f_{X,Y}}{f_{X}}=\frac{\frac{4y}{x^3}\cdot 1_{\{0<x<1,0<y<x^2\}}}{2x\cdot 1_{\{0<x<1\}}}=\frac{2y}{x^4}1_{\{0<y<x^2\}} \end{eqnarray}$ Ich weiss nicht, ob meine Rechnung stimmt. Da $\begin{eqnarray} 1_{A}\cdot 1_{B}=1_{A\cap B} \end{eqnarray}$ , dachte ich mir, dass $\begin{eqnarray} 1_{A}/1_{B}=1_{A\setminus B} \end{eqnarray}$ . Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das stimmt. Wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Vielen Dank!
12.10.2016, 13:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, dass für $\begin{align} x\not\in B \end{align}$ ja $\begin{align} 1_B(x)=1_{A\cap B}(x)=0 \end{align}$ gilt, d.h., in deiner Formel steht dann 0/0. Was aber auch nichts macht, denn außerhalb von $\begin{align} x\in [0,1] \end{align}$ besitzt $\begin{align} f_{Y\|X}(x,y) \end{align}$ eh keine inhaltliche Bedeutung. Insofern kannst du dort $\begin{align} f_{Y\|X}(x,y) \end{align}$ beliebig festlegen, u.a. auch mit deiner Variante $\begin{align} \frac{2y}{x^4}1_{\{0<y<x^2\}} \end{align}$ .
12.10.2016, 13:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Division von Indikatorfunktionen Die Formel gilt nur, wenn $\begin{eqnarray} f_X \neq 0 \end{eqnarray}$ ist. In dem Fall heißt das $\begin{eqnarray} 0 < x < 1 \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} f_X = 0 \end{eqnarray}$ ist, so ist $\begin{eqnarray} f_{Y \| X} \end{eqnarray}$ die Dichte dafür, dass $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ eintritt, unter der Voraussetzung, dass ein unmögliches Ereignis eintritt. Ich weiß nicht wie man so etwas handhabt. Etwas allgemeiner: $\begin{eqnarray} \frac { 1_A } { 1_B}(x) = \begin{cases} 1_A & \text{ falls } x \in B \\ ? & \text{ falls } x \not\in B\end{cases} \end{eqnarray}$ . Das Fragezeichen, da dort formal $\begin{eqnarray} \frac {1_A} 0 \end{eqnarray}$ stände.

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