Stochastikproblem: Musikbox

15.10.2016, 10:30

adiutor62

Stochastikproblem: Musikbox

Meine Frage:
Eine alte Musikbox enthält 50 Singles.Es wird per Zufall immer wieder eine Single ausgewählt?
Wie oft man zufällig per Knopftdruck eine Single auswählen,um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% alle Singles genau einmal gehört zu haben?

Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre:

(n über 50)*(1/50)^50*(49/50)^(n-50)>=0,95

Wie kann man diese Gleichung lösen? Geht das überhaupt?

15.10.2016, 11:38

Dopap

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RE: Stochastikproblem:Musikbox
$\begin{eqnarray*} \binom {n}{50}^{n-50}\geq 0,95 \end{eqnarray*}$

Mit welchem Modell begründest du das?

Links sehe ich keine Wahrscheinlichkeit. Man müsst auch nach dem AnzahlMinimum suchen, für das die Ungleichung erfüllt ist.

Irgendwie scheint mir das nicht zu klappen. Die Anforderung ist mir zu hoch. Mit der Forderung "mindestens einmal" geht es bestimmt.

15.10.2016, 11:42

adiutor62

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RE: Stochastikproblem:Musikbox
Das war nur so eine Idee.

" Mit der Forderung "mindestens einmal" geht es bestimmt."

Wie ginge das?

15.10.2016, 20:03

Dopap

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binomial gesehen ist das Modell doch eine Urne mit 49 weißen und einer schwarzen Kugel und Ziehen mit Zurücklegen.
Es liege ein n-stufiger Zufallsversuch vor. die Wkt, dass Schwarz (S) k mal gezogen wird beträgt :

$\begin{eqnarray*} p(S=k)= \binom nk 0.02 ^k 0.98^{n-k} \end{eqnarray*}$

nun soll aber $\begin{eqnarray*} S\geq 1 \end{eqnarray*}$ sein und die Wkt dieses Ereignisses soll größer 95% sein. Das gibt aber eine unangenehme BinomialSumme von k=1 bis k=n.

$\begin{eqnarray*} p(S\geq 1 )\geq 0.95 \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} \underbrace {1-p(S\geq 1)}_{\rm Gegenereignis Wkt}<1-0.95 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(S=0)< 0.05 \end{eqnarray*}$ das geht aber ohne Summe

$\begin{eqnarray*} p(S=0)= \binom n0 0.02^0 0.98^{n-0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(S=0)= 0.98^{n} \stackrel {!}{<}0.05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.98^{x}=0.05 \end{eqnarray*}$ dieLösung ist bezüglich n ganzzahlig aufzurunden.

Diese Aufgabe bereitet vielen des Öfteren Verständnis - Formulierungsprobleme. Deshalb mal etwas ausführlicher dargestellt. Big Laugh

15.10.2016, 20:13

adiutor62

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Besten Dank für deine Ausführungen. Freude

15.10.2016, 20:57

HAL 9000

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Die bisherigen Ausführungen behandeln aber nur die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Single unter den n Versuchen dabei ist - nicht alle.

15.10.2016, 21:08

Dopap

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was hätte es denn diesmal zu kritisieren gegeben ? Augenzwinkern

Multiplizieren einer Ungleichung mit -1 ??

15.10.2016, 21:16

HAL 9000

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Siehe EDIT.

16.10.2016, 02:50

Dopap

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Ich ändere mal die Aufgabe etwas ab, 90% der Platten sollen wenigstens einmal gespielt wordensein.

Sei U = Anzahl der ungespielten Platten. Sei $\begin{eqnarray*} u=0.98^n \end{eqnarray*}$ die Wkt dass eine platte ungespielt blieb.

Der Erwartungswert ist dann $\begin{eqnarray*} E(U)=50u \end{eqnarray*}$

Der Erwartungswertes sollte aber $\begin{eqnarray*} 50\cdot 10%=5 \end{eqnarray*}$ nicht übersteigen, damit die Bedingung eingehalten wird.
Die Wkt, dass U kleiner als 5 ist, soll nach Vorgabe 0.05 betragen.

Dazu sollte $\begin{eqnarray*} E(U) \end{eqnarray*}$ genügend Abstand von 5 nach unten haben. sodass $\begin{eqnarray*} p(U<5)<0.05 \end{eqnarray*}$ ist. Dieser Abstand ist dann erreicht, wenn $\begin{eqnarray*} 5-E(U) \end{eqnarray*}$

sagen wir mal $\begin{eqnarray*} 1.65 \end{eqnarray*}$ Standardeinheiten groß ist, welche sich zu $\begin{eqnarray*} \sqrt {n\cdot u \cdot (1-u)} \approx \sqrt{n\cdot u} \end{eqnarray*}$ berechnet.
Somit müsste $\begin{eqnarray*} 5-1.65 \sqrt{n\cdot u}\stackrel{!}{=}E(U) \end{eqnarray*}$ sein.

$\begin{eqnarray*} 50 u=5-1.65 \sqrt{n\cdot u} \end{eqnarray*}$ mangels Rechner vermute n um die 150 herum.

$\begin{eqnarray*} 50 \sqrt u =5-1.65\sqrt n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 50 \sqrt{ 0.98^n}= 5-1.65\sqrt n \end{eqnarray*}$

Das wäre so meine grobe Idee dazu, hoffenlich kein Käse

16.10.2016, 07:06

adiutor62

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Danke, aber beim Nachvollziehen haperts leider sehr.
Könnte es sein, dass man hier irgendwie mit der Siebformel arbeiten könnt smile

e?
Ich erinnere mich dumpf an eine ähnlich Aufgabe, wo diese Formel benutzt wurde,mit der ich aber nicht vertraut bin.
Ihr kennt euch damit sicher besser aus. War nur wieder so ein Gedanke.

16.10.2016, 09:33

Huggy

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Mit der Formulierung "mindestens einmal" ist das eine Einkleidung des gut bekannten Sammelkartenproblems oder coupon collector's problem, welches hier im Board schon des öfteren behandelt worden ist. Dopap sollte es deshalb bekannt sein.

Zitat:

Original von adiutor62
Könnte es sein, dass man hier irgendwie mit der Siebformel arbeiten könnt

Ganz richtig. Bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Objekten ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ Runden jedes Objekt mindestens einmal erhalten hat

$\begin{eqnarray*} p(r,n)=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \binom n k \left ( \frac {n-k}{n}\right )^r \end{eqnarray*}$

Wann diese Wahrscheinlichkeit einen bestimmten Wert erreicht, muss numerisch bestimmt werden.

16.10.2016, 12:53

Dopap

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tolle Formel. Und ich schreib mir die Finger wund...

Wenn jetzt aber gefordert wird, dass mindestens 90% =45 Stück der Platten gespielt wurden und das zu 95% Wkt. d.h. nur in einem von 20 Durchgängen wurden weniger als 45 Platten gespielt.
Sind da meine Überlegungen tendenziell brauchbar?

16.10.2016, 14:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
Bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Objekten ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ Runden jedes Objekt mindestens einmal erhalten hat

$\begin{eqnarray*} p(r,n)=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \binom n k \left ( \frac {n-k}{n}\right )^r \end{eqnarray*}$

Wobei für große $\begin{align*} r \end{align*}$ (d.h. deutlich größer als $\begin{align*} n \end{align*}$ ) auch näherungsweise $\begin{align*} p(r,n) \approx \left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^r\right)^n \end{align*}$ gilt. Diese Formel entsteht, wenn man das mindestens einmalige Auftreten eines Objekts als unabhängig von den Auftreten der anderen Objekte ansieht (was exakt natürlich nicht stimmt). Aber diese Näherungsformel ist eine gute Möglichkeit, sich zu dem gesuchten r vorzutasten - die letztendliche Überprüfung mit der exakten Formel von Huggy ist natürlich am Ende angezeigt. Augenzwinkern

16.10.2016, 15:16

Huggy

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Zitat:

Original von Dopap
tolle Formel. Und ich schreib mir die Finger wund...

Weshalb tust du das?
Du hast doch mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit einige der Threads zum Sammelkartenproblem gelesen!

Zitat:

Wenn jetzt aber gefordert wird, dass mindestens 90% =45 Stück der Platten gespielt wurden und das zu 95% Wkt. d.h. nur in einem von 20 Durchgängen wurden weniger als 45 Platten gespielt.
Sind da meine Überlegungen tendenziell brauchbar?

Diese Gleichung von dir

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 50 \sqrt{ 0.98^n}= 5-1.65\sqrt n \end{eqnarray*}$

hat jedenfalls keine Lösung. Deshalb und da das nicht die gestellte Frage ist, fehlt mir der Anreiz, mich in deine Überlegungen hineinzudenken.

16.10.2016, 16:49

Dopap

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ich soll mich nach der Reha geistig beschäftigen, deshalb.
Ich konnte die Musikbox und das Sammelkartenproblem nicht unter einen Hut bringen. Hatte es einfach nicht auf dem Schirm.
Wenn mein TR wieder Strom hat, wird mein "Weg" genauer untersucht.
Aber Danke für deine Post. smile

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