Lineare Abbildung Kreis -> Ellipse

16.10.2016, 12:03

r4ndom19

Lineare Abbildung Kreis -> Ellipse

Hallo,

ich habe gelesen, dass lineare Abbildungen (sofern sie vollen Rang) haben Kreise in Ellipsen überführen. (und im höherdimensionalen entsprechend verallgemeinert)
Nun habe ich versucht das zu zeigen und komme nicht so recht auf einen grünen Zweig. Ich wollte das nun für den zweidimensionalen Fall machen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin(x) \\ cos(x) \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a sin(x)+b cos(x) \\ c sin(x) + d cos(x) \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe nun diesen Vektor (ab hier (x, y) ) genannt und in die Ellipsenform geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{n} ^{2} + \frac{y}{m} ^{2} \end{eqnarray*}$ Nun müsste dieser Wert (damit es sich um eine Ellipse handelt) konstant sein. Ich habe nun etwas hin und her gerechnet, aber ich sehe einfach nicht wie dies konstant werden soll.

Ich will das hier nicht alles schreiben weil es sehr lange wird, aber man kann es ja mal an diesem einfachen Fall betrachten: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} sin(x) \\ cos(x) \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin(x)+ cos(x) \\ cos(x) \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In die Ellipsenform eingesetzt erhält man: (sin+cos)^2 /a + cos^2 /b = 1/a + sin*cos/a + cos^2 /b.
Ich wüsste nicht wie man a und b wählen kann sodass dieser Ausdruck konstant wird.

16.10.2016, 15:20

Elvis

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So komme ich auch nicht auf einen grünen Zweig ... wenn dich das interessiert, kannst du hier https://de.wikipedia.org/wiki/Singul%C3%A4rwertzerlegung oder hier http://www.math.uni-frankfurt.de/~ferebe...Vorlesung4a.pdf nachlesen.

17.10.2016, 11:01

Huggy

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RE: Lineare Abbildung Kreis -> Ellipse

Zitat:

Original von r4ndom19
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{n} ^{2} + \frac{y}{m} ^{2} \end{eqnarray*}$ Nun müsste dieser Wert (damit es sich um eine Ellipse handelt) konstant sein.

So kann das natürlich klappen, da dies die Form einer Ellipse in Hauptlage ist. Die lineare Abbildung wird aber im allgemeinen eine gedrehte Ellipse ergeben.

Um zu sehen, weshalb die Abbildung immer eine (eventuell ausgeartete) Ellipse ergibt, kann man lineare Abbildungen, die aus einem Kreis Ellipsen machen, systematisch erzeugen. Es ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t) \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine Parameterdarstellung des Einheitskreises. Sei

$\begin{eqnarray*} D_H=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \\\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Dann ergibt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\\end{pmatrix}= D_H \cdot \begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t) \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Parameterdarstellung einer Ellipse in Hauptlage mit den Halbachsen $\begin{eqnarray*} |a| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |b| \end{eqnarray*}$ . Über die Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ können noch Achsenspiegelungen realisiert werden, die an der Form der Ellipse nichts ändern. Sei

$\begin{eqnarray*} D_\alpha=\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \\\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Dann ergibt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\\end{pmatrix}=D_\alpha \cdot D_H \cdot \begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t) \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die um den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gedrehte Ellipse. Mit den 3 Parametern $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ lassen sich alle Ellipsen erzeugen. Es sieht also zunächst so aus, als ob die allgemeine Matrix

$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} c & d \\ e & f \\\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

einen Parameter zu viel hat, um immer eine Ellipse zu erzeugen. Dem ist aber nicht so. Denn man kann den Kreis, bevor man obige Transformationen macht, noch mit der Matrix

$\begin{eqnarray*} D_\beta=\begin{pmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \\\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

um einen Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ drehen. Das ergibt dieselbe Ellipse wie vorher, allerdings werden dabei die Punkte des Kreises auf andere Punkte der Ellipse abgebildet als ohne diese Drehung. Es sind also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\\end{pmatrix}=D_\alpha \cdot D_H \cdot D_\beta \cdot \begin{pmatrix} sin(t) \\ cos(t) \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

alles durch Transformation aus einem Kreis erzeugte Ellipsen. Damit hat man genügend freie Parameter. Aus dem Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} D=D_\alpha \cdot D_H \cdot D_\beta \end{eqnarray*}$

kann man bei gegebener Matrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta, a, b \end{eqnarray*}$ bestimmen.

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