Nebenbedingung für LP-Problem aufstellen

19.10.2016, 20:22	FaithNoMore	Auf diesen Beitrag antworten »
Nebenbedingung für LP-Problem aufstellen Meine Frage: Hallo Ich sitze gerade an einer Optimierungsaufgabe. Hallihallo! :-) Ich sitze gerade vor zwei Optimierungsaufgaben und eigentlich sind diese nicht allzu schwer. Aber es gibt zwei Nebenbedingungen, die mir recht große Kopfschmerzen bereiten. Zum einen: Ein Salat ist eine beliebige Kombination der folgenden Zutaten: (1) Tomaten (25 kcal, 0.85g Proteine, 0.39g Fett, 4.64g Kohlenhydrate, 9.00mg Kochsalz) (2) Kopfsalat (14 kcal, 1.62g Proteine, 0.20g Fett, 2.36g Kohlenhydrate, 8.00mg Kochsalz) (3) Möhren (346 kcal, 8.33g Proteine, 1.58g Fett, 80.70g Kohlenhydrate, 508.20mg Kochsalz) (4) Spinat (371 kcal, 12.78g Proteine, 1.39g Fett, 74.69g Kohlenhydrate, 7.00mg Kochsalz) (5) Öl (884 kcal, 0.00g Proteine, 100.0g Fett, 0.00g Kohlenhydrate, 0.00mg Kochsalz) Jeder Salat muss enthalten: (A) mindestens 20 Gramm Proteine (B) mindestens 3 und höchstens 5 Gramm Fett (C) mindestens 6 Gramm Kohlenhydrate (D) höchstens 100 Milligramm Kochsalz Angaben erfolgen pro 100g. Außerdem soll gelten: (E) Der Gewichtsanteil an grünem Blattgemüse darf nicht höher als 20% sein. Die Aufgabe ist es, einen Salat zusammenzustellen, der die genannten Bedingungen erfüllt und so wenig Kalorien wie möglich enthält. Formulieren Sie dieses Problem als LP-Problem. Meine Ideen: Bisher sieht man Lösungsansatz wie folgt aus: $\begin{eqnarray} minimiere \,\, 25x_1+14x_2+346x_3+371x_4+884x_5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} unter \, den \, Nebenbedingungen \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8x_1+1.62x_2+8.33x_3+12.78x_4+0.00x_5 \geq 20 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0.39x_1+0.20x_2+1.58x_3+1.39x_4+100.0x_5 \geq 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0.39x_1+0.20x_2+1.58x_3+1.39x_4+100.0x_5 \leq 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4.46x_1+2.36x_2+80.70x_3+74.69x_4+0.00x_5 \geq 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 9.00x_1+8.00x_2+508.20x_3+7.00x_4+0.00x_5 \leq 100 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \geq 0 \end{eqnarray}$ Was mich allerdings verwirrt, ist die Nebenbedingung E, die fordert, dass nicht mehr Gewichtsanteil an grünem Blattgemüse im Salat enthalten sein darf als 20%. Mache ich es mir zu schwer? Das Gesamtgewicht meines Salats würde sich ja aus $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x_5 \end{eqnarray}$ aufaddiert ergeben. Um 20% dieses Gewichts zu bekommen, müsste ich die Summe mit 0.2 multiplizieren und fordern, dass dann $\begin{eqnarray} x_2+x_4 \end{eqnarray}$ nicht höher als dieses sind. Das würde mich auf die Ungleichung $\begin{eqnarray} x_2+x_4 \leq 0.2(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5) \end{eqnarray}$ bringen. Das müsste ich nun noch umformen, aber ist dieser Gedankengang richtig oder bin ich vollkommen auf dem falschen Dampfer? Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand kurz ein Auge drauf werden könnte!
20.10.2016, 13:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt
20.10.2016, 15:17	FaithNoMore	Auf diesen Beitrag antworten »
Großes Dankeschön für's Drüberschauen!!
20.10.2016, 22:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein Tipp zur besseren Dokumentation von LP-Modellen. Man nennt die Variable nicht $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ sondern Tomate und die Nebenbedingung nicht A sondern Proteine. Wenn man dann noch die Variable Salat=Tomate+...+ Öl einführt, wird auch die letzte Nebenbedingung verständlich lesbar : Kopfsalat+Spinat-0,2*Salat<=0 LP-Modelle müssen gut dokumentiert sein, damit man damit arbeiten und sie leicht ändern kann.

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