Äquivalenzklassen |
| 20.10.2016, 16:26 | Teddy13 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Äquivalenzklassen Ich verstehe leider immer noch nicht genau, wie man Äquivalenzklassen bestimmt. Die Aufgabe lautet: Sei K ein Körper und V ein Vektorraum mit dim(V ) ? 2. Auf der Menge VxV wird folgende Äquivalenzrelation definiert: (v,w) 
v?,w?):? Es gibt ein g ? GL(V) mit v? =g(v )und w? =g(w).Wie bestimme ich nun die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation? Meine Ideen: Ich würde nun so beginnen: [(v,w)]={(v',w')? V|(v,w)
v?,w')}={(v',w')? V| Es gibt ein g ? GL(V): (v',w')=g(v,w)Und nun? Danke im Voraus!! |
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| 20.10.2016, 17:09 | Teddy13 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Äquivalenzklassen Entschuldigung, also die Äquivalenzrelation lautet: (v,w)~(v',w')<=>Es gibt ein g aus GL(V): v'=g(v) und w'=g(w). |
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| 20.10.2016, 22:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
u) Bedenke, dass g aus GL(V) linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren abbildet. a) Linear abhängige Vektoren werden von jeder linearen Abbildung auf linear abhängige Vektoren abgebildet. Dafür gilt . Für u) ist es fast trivial, die Äquivalenzklasse(n) zu finden, für a) nicht ganz so einfach, da musst Du ein bißchen nachdenken. ( Wirklich kompliziert ist das aber auch im Fall a) nicht, 2 Minuten nachdenken genügt vollkommen. 
) |
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| 21.10.2016, 13:07 | Teddy13 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schonmal vielen Dank für den Tipp, leider bin ich noch gar nicht mit dem Thema Äquivalenzklasse vertraut und komme nicht mal bei u) auf ein Ergebnis 
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| 21.10.2016, 14:33 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
u und v linear unabhängig, u' und v' linear unabhängig, dann gibt es ein g aus GL(V) mit g(v)=v' und g(w)=w'. Für dim V=2 gibt es genau ein solches g, denn damit wird eine Basis von V (auf eine Basis von V) abgebildet. Für dim V>2 kann man viele g aus GL(V) finden, denn v,w kann man zu einer Basis von V ergänzen, und g kann mit den anderen Basisvektoren alles mögliche machen. Also sind alle Paare (v,w) linear unabhängiger Vektoren in einer einzigen Äquivalenzklasse. Über a) musst Du erst einmal selbst nachdenken, wenn dir nichts einfällt, kannst Du ja nochmal fragen, dann gibt es morgen weitere Erklärungen. Warum ich das so mache, ist hoffentlich klar: Selbst denken hilft, Denken zu lernen. (Immanuel Kant: "Habe Mut, dich deines eigenen Verstandes zu bedienen.") |
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| 21.10.2016, 19:28 | Teddy13 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist dann die weitere Äquivalenzklasse alle skalaren Vielfache zu dem Paar (v,w)? |
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| 21.10.2016, 22:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein Überlege folgendes 1. allgemein 1.1 was ist eine Menge M ? 1.2 was ist eine Relation auf einer Menge M ? 1.3 was ist eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ? 1.4 was ist eine Klasse von M ? was ist eine Klasseneinteilung von M ? 1.5 was ist eine Äquivalenzklasse von M bezüglich einer Äquivalenzrelation? Definition ! 1.6 wie ist der Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen auf M und Klasseneinteilungen von M ? 2. speziell 2.1 auf welcher Menge M ist diese Relation definiert ? 2.2 ist diese Relation tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf M ? Beweis ? 2.3 nimm ein Element (v,w) dieser Menge M und definiere entsprechend der Definition 1.5 eine Äquivalenzklasse von (v,w) 2.4 untersuche diese Äquivalenzklasse von (v,w) |
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| 23.10.2016, 17:39 | Teddy13 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dass es sich tatsächlich um eine Äquivalenzrelation handelt, habe ich bereits gezeigt. Vielen Dank für die vielen Erklärungsversuche! |
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| 23.10.2016, 18:53 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mir hast Du noch gar nichts gezeigt. Deine Probleme scheinen sich um die Frage 2.1 zu drehen. Wie kannst Du 2.2 beweisen, wenn Du 2.1 noch nicht bewältigt hast ? |
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