Mengenlehre Beweise

21.10.2016, 17:22	Brolly89	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenlehre Beweise Guten Tag, ich bin Physik Student und ein Erstie. Nun möchte ich das gerne schaffen und verbringe all meine Freizeit zur Zeit mit Mathe, da dieser im ersten Semester sehr aufwendig ist. Nur leider gibt es einige Sache die ich nicht ganz verstehe. Ich erwarte natürlich nicht das ihr mir die Aufgaben löst, aber irgendwie vllt eine Hilfe Stellung gibt. Denn ich möchte es gerne verstehen, damit ich die Klausur auch schaffe. Z.B. Seien X und Y Mengen. Zeigen Sie (I) $\begin{eqnarray} X \cup Y = \emptyset \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} X = \emptyset \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y = \emptyset \end{eqnarray}$ (II) $\begin{eqnarray} X - Y = \emptyset \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} X \subseteq Y \end{eqnarray}$ (III) $\begin{eqnarray} (X - Y) \cup (Y-X) = \emptyset \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} X = Y \end{eqnarray}$ Und Seien X,Y,Z Teilmengen einer Menge E. Zeigen Sie (IV) $\begin{eqnarray} E - (X \cup Y) = (E - X) \cap (E - Y) \end{eqnarray}$ (V) $\begin{eqnarray} (X - Y) \cap Z = (X \cap Z) - (Y \cap Z) \end{eqnarray}$ (VI) Es ist $\begin{eqnarray} X \subseteq Y \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} E - Y \subseteq E - X \end{eqnarray}$ So natürlich habe ich mir Gedanken gemacht und versucht es zu lösen, wobei ich glaube das alles Falsch ist. Wäre um Tipps oder wie ich es sonst lernen kann, sehr dankbar. (I) Wenn $\begin{eqnarray} X \in \emptyset, Y \in \emptyset \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} X \cup Y = \emptyset \end{eqnarray}$ Ich habe zwar verstanden (oder hoffe es zumindest), das wenn die Menge X und Y nur die Leere Menge enthält, das die Vereinigung dieser Menge auch nur die Leere Menge ergeben kann. Aber mir ist es ein Rätsel wie ich das richtig aufschreibe. (II) Wenn $\begin{eqnarray} Y := \{ y \mid y = \emptyset \} \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} X \subseteq Y \end{eqnarray}$ so ist dann $\begin{eqnarray} X - Y = \emptyset \end{eqnarray}$ Das die Differenz von X - Y eine Leere Menge ergibt, geht ja nur, wenn in der Menge von Y auch nur eine leere Menge vorhanden ist. Wenn dies so ist und X nur die Teilmenge von Y ist, dann muss ja die Substraktion voneinander auch wieder nur eine leere Menge geben. (III) Wenn $\begin{eqnarray} X := \{ x \mid x = \emptyset \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y := \{ y \mid y = \emptyset \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X \subseteq Y, Y \subseteq X \end{eqnarray}$ Dann muss ja $\begin{eqnarray} (X - Y) \cup (Y-X) = \emptyset \end{eqnarray}$ Damit X = Y ist, so muss ja beides voneinander die Teilmenge sein und in der Menge darf ja nur die leere Menge enthalten sein, damit dies gilt oder? (IV) Hier habe leider gar keine Idee wie man das gescheit aufschreibt. Verstanden habe ich, das sowohl die Linke als auch die rechte Seite gleich sind. Aber wie zeige ich das ? Genauso auch (V) und (VI) Ich verlange keine Lösung. Wenn ihr mir Tipps geben könntet, wie ich da formal ran gehen muss, oder wo es ähnliche Beispiele gibt, wie man das Formal macht, wäre ich sehr dankbar. Ich verstehe was da steht, aber ich weiss nicht wie ich das Beweisen muss. Wäre sehr sehr dankbar über jegliche Hilfe.
21.10.2016, 22:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst immer auf die Definitionen achten. Zwei Mengen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sind gleich, $\begin{eqnarray} A=B \end{eqnarray}$ , genau dann wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist : $\begin{eqnarray} A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\wedge B\subseteq A \end{eqnarray}$ Eine Menge $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist Teilmenge der Menge $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} A \subseteq B \end{eqnarray}$ , genau dann wenn jedes Element aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ Element von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} A\subseteq B\Leftrightarrow (x\in A \Rightarrow x\in B) \end{eqnarray}$
22.10.2016, 11:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich zeige dir, wie man (I) beweist, der Rest geht "genauso" Behauptung : $\begin{eqnarray} X\cup Y=\emptyset \Leftrightarrow X=\emptyset \wedge Y=\emptyset \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} "\Rightarrow" : X\ne\emptyset\Rightarrow \exists x\in X\Rightarrow x\in X\cup Y\Rightarrow X\cup Y\ne\emptyset,Y\ne\emptyset\Rightarrow \exists y\in Y\Rightarrow y\in X\cup Y\Rightarrow X\cup Y\ne\emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} "\Leftarrow": X\cup Y\ne\emptyset\Rightarrow \exists z\in X\cup Y\Rightarrow z\in X\vee z\in Y\Rightarrow X\ne \emptyset \vee Y\ne \emptyset \end{eqnarray}$ q.e.d.
22.10.2016, 12:48	Brolly89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke vielmals. Mit deinem zweiten Beitrag kann ich was anfangen. Jetzt versuche ich mal den Rest zu lösen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »