Sphärisches Polygon

24.10.2016, 16:07	tueftli	Auf diesen Beitrag antworten »
Sphärisches Polygon Meine Frage: Hallo zusammen! Ich brüte gerade über einem kniffligen Problem: Ich möchte die Fläche eines Polygons mit beliebig vielen Ecken ausrechnen. Dieses Polygon liegt aber nicht in einer Ebene, sondern auf der Oberfläche einer Kugel und ist somit spärisch gewölbt. Wenn der Radius der Kugel und jeweils die Koordinaten der Eckpunkte $\begin{eqnarray} P_{1}, P_{2}, P_{3}, ..., P_{n} \end{eqnarray}$ als Kugelkoordinaten (über 2 Winkelangaben $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ) bekannt sind, dann sollte doch die Fläches dieses gewölbten Polygons zu bestimmen sein, oder? Meine Ideen: Ich habe hier zu Hause zahlreiche Bücher über höhere Mathematik, aber weder in diesen, noch im Internet bin ich fündig geworden. Ich stelle mir das ähnlich vor, wie bei der Flächenberechnung eines Polygons in der Ebene (Gaußsche Flächenformel): $\begin{eqnarray} F = \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}\left(y_{i+1} - y_{i-1} \right) \end{eqnarray}$ Die Eckpunkte liegen dabei aber auf der Oberfläche einer Kugel, haben also alle den gleichen Abstand vom Kugelzentrum! Die Kanten des Polygons werden dabei durch Abschnitte von Großkreisen gebildet, sie sind also jeweils immer die kürzeste Verbindung zwischen zwei Polygonpunkten (Orthodromen). Wenn es einen bereits existierenden Formelapparat geben würde, wäre das natürlich super!!! Grüße! tueftli
24.10.2016, 16:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenso wie in der Ebene kannst du doch eine (in diesem Fall dann sphärische) Triangulation durchführen, d.h., deine Polygonfläche setzt sich ja auch $\begin{align} (n-2) \end{align}$ Kugeldreiecken zusammen. Und deren Flächeninhalt ist ja wohlbekannt und lässt sich mit deinen gegebenen Kugelkoordinaten berechnen, na klar.
24.10.2016, 16:31	tueftli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, daran habe ich auch schon gedacht... Ich muss das ganze in einem Programmalgorithmus umsetzen und da wäre mir natürlich eine Gesamtformel (ähnlich der obigen Flächenformel) am liebsten. Ansonsten muss ich vorher hingehen und zuerst einen Algorithmus entwickeln, der mir die Polygonfläche in spärische Dreiecke zerlegt und ich frag mich, ob ich mir dadurch nicht mehr Programmieraufwand mache...
24.10.2016, 16:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze spitzt sich zu der Frage zu: Was ist "innen" und was "außen" bzgl. deines Polygons? Bereits die Angabe der $\begin{align} n \end{align}$ Punkte $\begin{align} P_1,\ldots,P_n \end{align}$ gibt noch keinen klaren Aufschluss darüber, welche der beiden Flächen auf der Kugeloberfläche mit "innen" gemeint ist (die andere ist dann "außen"). Es ist z.B. sicher so, dass $\begin{align} F(P_1P_2\ldots P_n) = \sum_{k=2}^{n-1} F(P_1P_kP_{k+1}) \end{align}$ ist, wenn man die Teilflächen in der Summe mit geeigneten Vorzeichen erfasst - welches Vorzeichen das dann im Einzelfall ist, scheint auf den ersten Blick nicht trivialerweise klar zu sein. EDIT: Andere Idee. Man nimmt einen "einfachen" ausgezeichneten Punkt der Kugeloberfläche, z.B. den Nordpol N, und trianguliert von dort mit n Dreiecken, also $\begin{align} F(P_1P_2\ldots P_n) = \sum_{k=1}^{n} F(NP_kP_{k+1}) \end{align}$ . In dem Fall lassen sich die Vorzeichen relativ einfach bestimmen, je nach Positivtiät/Negativität der Längengraddifferenz $\begin{align} \varphi_{k+1}-\varphi_k \end{align}$ .
24.10.2016, 16:54	tueftli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß schon, was Du meinst, auch darüber habe ich schon nachgedacht... Nun, in diesem (meinem) Fall darf angenommen werden, dass die maximale Fläche des Polygons eine Halbkugelfläche nicht überschreitet. Das heißt, dass immer das "innere" Polygon zu wählen ist bzw. das flächenmäßig kleinere.
26.10.2016, 16:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuch mal die Flächenformel aufzustellen, ganz nach dem im letzten EDIT erläuterten Prinzip: Punkt $\begin{align} P_i \end{align}$ sei durch die Koordinaten $\begin{align} \theta_i,\varphi_i \end{align}$ charakterisiert, dabei ist $\begin{align} \theta_i\in[0,\pi] \end{align}$ und $\begin{align} \varphi_i\in(-\pi,\pi] \end{align}$ . Nun definieren wir $\begin{align} \Delta \varphi_i := \varphi_{i+1}-\varphi_i + 2k\pi \end{align}$ wobei das ganzzahlige $\begin{align} k \end{align}$ so gewählt wird, dass $\begin{align} \Delta \varphi_i \in (-\pi,\pi] \end{align}$ liegt. Hierbei wird außerdem $\begin{align} \varphi_{n+1}=\varphi_1 \end{align}$ angenommen (d.h. Punktindizes werden modulo $\begin{align} n \end{align}$ betrachtet). Zunächst berechnen wir den betragsmäßigen (!) Flächeninhalt $\begin{align} \|F_i\| \end{align}$ des Dreiecks $\begin{align} NP_iP_{i+1} \end{align}$ , wobei Nordpol $\begin{align} N \end{align}$ durch die Koordinate $\begin{align} \theta=0 \end{align}$ gekennzeichnet ist ( $\begin{align} \varphi \end{align}$ ist beliebig wählbar). Es ist $\begin{align} \|F_i\| = R^2\left( \left\|\Delta \varphi_i\right\| + \alpha_{i,1} + \alpha_{i,2} - \pi \right) \end{align}$ , wobei $\begin{align} \alpha_{i,1} \end{align}$ der Winkel zwischen den Großkreisbögen von $\begin{align} NP_i \end{align}$ und $\begin{align} P_iP_{i+1} \end{align}$ ist, und $\begin{align} \alpha_{i,2} \end{align}$ der Winkel zwischen den Großkreisbögen von $\begin{align} NP_{i+1} \end{align}$ und $\begin{align} P_iP_{i+1} \end{align}$ . Dazu verwenden wir den Seitenkosinussatz dreimal. Das erste Mal, um den Winkel $\begin{align} \lambda_i \end{align}$ zugehörig zum Großkreisbogen $\begin{align} P_iP_{i+1} \end{align}$ auszurechnen: $\begin{align} \lambda_i = \arccos\left( c_i \right) \end{align}$ mit $\begin{align} c_i := \cos(\theta_i)\cos(\theta_{i+1}) + \sin(\theta_i)\sin(\theta_{i+1})\cos(\Delta \varphi_i) \end{align}$ . Mit diesem $\begin{align} \lambda_i \end{align}$ ergeben sich dann unter Berücksichtigung von $\begin{align} \sin(\lambda_i)=\sqrt{1-c_i^2} \end{align}$ die noch fehlenden Innenwinkel von $\begin{align} NP_iP_{i+1} \end{align}$ gemäß $\begin{align} \alpha_{i,1} = \arccos\left( \frac{\cos(\theta_{i+1})-\cos(\lambda_i)\cos(\theta_i)}{\sin(\lambda_i)\sin(\theta_i)} \right) = \arccos\left( \frac{\cos(\theta_{i+1})-c_i\cos(\theta_i)}{\sqrt{1-c_i^2}\cdot \sin(\theta_i)} \right) \end{align}$ $\begin{align} \alpha_{i,2} = \arccos\left( \frac{\cos(\theta_i)-\cos(\lambda_i)\cos(\theta_{i+1})}{\sin(\lambda_i)\sin(\theta_{i+1})} \right) = \arccos\left( \frac{\cos(\theta_i)-c_i\cos(\theta_{i+1})}{\sqrt{1-c_i^2}\cdot \sin(\theta_{i+1})} \right) \end{align}$ . Schlussendlich muss man noch das Vorzeichen von $\begin{align} F_i \end{align}$ geeignet festlegen, und zwar per $\begin{align} F_i = \operatorname{sgn}\left(\Delta \varphi_i\right)\cdot \|F_i\| \end{align}$ . Das ganze führt dann zur Polygonfläche $\begin{align} F(P_1\ldots P_n) = \left\| \sum_{i=1}^n F_i \right\| \end{align}$ . Ist nun $\begin{align} F(P_1\ldots P_n)>2\pi R^2 \end{align}$ , dann nimmt man stattdessen $\begin{align} 4\pi R^2-F(P_1\ldots P_n) \end{align}$ , um dieser Forderung genüge zu tun. EDIT: Ok, da ist noch ein numerisches Problem im Fall $\begin{align} \Delta \varphi_i=0 \end{align}$ . In dem Fall kann man aber die Rechnung sowieso abkürzen zu $\begin{align} F_i=0 \end{align}$ .
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