Teilbarkeit durch 7

25.10.2016, 10:36	CarlFriedrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit durch 7 Hey zusammen, ich darf grade das erste Semester Mathe nochmal machen. Auf dem ersten Übungsblatt haben wir nun folgende Aufgabe: "Angenommen es gibt ein n Element N, so dass 7 ein Teiler von 10^n ist. Zeigt, dass dann auch 10^(n+1) durch 7 teilbar ist. Gibt es ein n Element N, so dass 7 ein Teiler von 10^n ist?" Der erste Teil ist ja nicht sonderlich schwierig...Der zweite vermutlich auch nicht, aber irgendwie komm ich nicht drauf. Wie zeige ich denn, dass 7 kein Teiler von 10^n ist? Ich schätze mal, da kann man ganz einfach argumentieren. Wäre nett, wenn da mal kurz jemand hilft LG CarlFriedrich
25.10.2016, 10:37	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
im Matheboard! Das kannst du z.B. über die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray} 10^n \end{eqnarray}$ machen.
25.10.2016, 18:51	CarlFriedrich	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, Danke für die Antwort. Also $\begin{eqnarray} 10^n=(2\cdot 5)\cdot ...\cdot (2\cdot 5) \end{eqnarray}$ wobei man den Faktor n mal hat ist die Primfaktorzerlegung von 10^n. Damit 7 ein Teiler von 10^n ist, muss es ein m Element N geben mit $\begin{eqnarray} 10^n=7m \end{eqnarray}$ Weil 7 ebenfalls eine Primzahl und nicht Teil der Primfaktorzerlegung ist, ist es unmöglich, dass $\begin{eqnarray} 10^n=7m \end{eqnarray}$ ... Kann man das so irgendwie schreiben? LG
25.10.2016, 19:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mich auf die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung beziehen, sofern ihr das schon hattet. Die Primzahl $\begin{align} 7 \end{align}$ kommt in $\begin{align} 2^n \cdot 5^n \end{align}$ nicht vor. Fertig. Und hier noch eine Begründung ohne Primfaktoren. Sie verwendet $\begin{align} 10^6 = 999999+1 \end{align}$ und $\begin{align} 7 \, \| \, 999999 \end{align}$ . Für ganzzahliges $\begin{align} n \geq 6 \end{align}$ gilt nun: Ist $\begin{align} 10^n \end{align}$ durch $\begin{align} 7 \end{align}$ teilbar, so auch $\begin{align} 10^{n-6} \end{align}$ . Das sieht man sofort anhand der Gleichung $\begin{align} 10^n = 10^6 \cdot 10^{n-6} = \left( 999999+1 \right) \cdot 10^{n-6} = 999999 \cdot 10^{n-6} + 10^{n-6} \end{align}$ Diesen Abstieg um 6 kann man so lange wiederholen, bis der Exponent unterhalb von 6 liegt. Ist also $\begin{align} 10^n \end{align}$ für ein $\begin{align} n \end{align}$ durch $\begin{align} 7 \end{align}$ teilbar, dann auch eine der Zahlen $\begin{align} 1,10,100,1000,10000,100000 \end{align}$ . Und nun muß man noch diese 6 Zahlen überprüfen.

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