Konvergenz Beweis geht irgendwie nicht auf

26.10.2016, 19:07

der_unkluge

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Konvergenz Beweis geht irgendwie nicht auf

Hello,

könntet ihr mir bitte meinen Fehler erklären?
Ich versuche zu Beweisen dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n^{2}+1} \end{eqnarray*}$

gegen Null konvergiert. Ansich ist es ja offensichtlich, aber wenn ich nun rechne:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{n+1}{n^{2}+1} - 0 = \frac{n+1}{n^{2}+1} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{\epsilon+1}{\epsilon^{2}+1} < n <br /> \end{eqnarray*}$

dann bedeutet das doch, dass mein:

$\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon+1}{\epsilon^{2}+1} \end{eqnarray*}$

groß N dastellt, bzw, dass n > N sein muss.

Angenommen ich setze bei dieser Rechnung nun für Epsilon 0.1 ein, dann habe ich als ergebnis 1.111, was wiederum meinem N entspricht.
Wenn ich nun für n > 1 wähle, beispielsweise 2, kommt bei der Rechnung 0.6 raus.

Und 0.6 ist definitiv größer als 0.1

Wo liegt mein Denkfehler? unglücklich

unglücklich

26.10.2016, 19:39

Helferlein

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Du ersetzt das n einfach durch $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ , was aber mit der Aufgabe überhaupt nichts zu tun hat.
Es geht darum ein (geeignet großes) N zu finden, so dass die Ungleichung $\begin{align*} \frac{n+1}{n^2+1}<\varepsilon \end{align*}$ für alle n>N erfüllt ist. Dies kannst Du entweder durch gezieltes ausrechnen (Hier über eine quadratische Gleichung) oder durch Abschätzen erreichen.

26.10.2016, 19:42

der_unkluge

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danke ich hab gerade bemerkt dass ich aufgrund von

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon} < n \end{eqnarray*}$

einfach gedacht habe, das n mit epsilon ersetzen zu können. was nach den Regeln der Mathematik natürlich vollkommener Unfug ist.

Abschätzen ist denke ich nicht möglich da ja ein Beweis erbracht werden muss.
Wie gesagt, dass die Folge zu 0 Konvergiert ist mmn offensichtlich, aber eben dies zu Beweisen fällt mir gerade schwer. Auch mit dem Stichwort quadratische Gleichung.

26.10.2016, 19:48

Helferlein

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Abschätzen ist hier der einfachere Weg. Du musst nur einen einfachen Term f(n) finden, der die Ungleichung $\begin{align*} \frac{n+1}{n^2+1} \leq f(n)<\varepsilon \end{align*}$ erfüllt und für den Du das $\begin{align*} n_0(\varepsilon) \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(n_0)<\varepsilon \end{align*}$ berechnen kannst.

Tip: Für $\begin{align*} 0<a<b \end{align*}$ und $\begin{align*} c>d>0 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \frac ac < \frac bd \end{align*}$

26.10.2016, 20:13

der_unkluge

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ich fühl mich gerade so dumm, ich probier, und überleg, und komm nicht drauf,...wah..

26.10.2016, 20:22

Helferlein

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Ich will nicht zuviel verraten, denn das hätte nicht den lerneffekt für die nächsten Aufgaben.
Versuch doch mal einen Term zu finden, der größer als $\begin{align*} n+1 \end{align*}$ ist, aber kompakter. Dann einen Term, der kleiner als $\begin{align*} n^2+1 \end{align*}$ ist und ebenfalls kompakter.

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26.10.2016, 20:38

der_unkluge

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also eine überlegung von mir wäre jetzt

$\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$

das würde auch das Kriterium

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n^2+1} < f(n) \end{eqnarray*}$ erfüllen,
aber eben nicht das kleiner Epsilon...

wie dumm kann ich mich denn anstellen...

26.10.2016, 20:44

Helferlein

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Du bist auf dem richtigen Weg. Wie lautet dein f (n) und wann ist es kleiner als Epsilon?

26.10.2016, 20:52

der_unkluge

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ich hätte gesagt dass:

$\begin{eqnarray*} f(n) = \frac{2n}{n^{2}} \end{eqnarray*}$

aber das ist ws quatsch, das nicht logisch zu Epsilon umformen kann.

26.10.2016, 21:00

der_unkluge

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oder kann ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{n^{2}} < \epsilon \\ <br /> 2n < \epsilon * n^{2} \\<br /> 2 < \frac{\epsilon * n^{2}}{n} = 2 < \epsilon * n \\<br /> \frac{2}{\epsilon} < n \end{eqnarray*}$

?

26.10.2016, 21:06

Helferlein

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Du hättest natürlich schon f (n) kürzen können.Aber ja: Du hast ein N berechnet.
Aufgrund der Abschätzung ist es nicht das kleinste, aber das wird ja auch nirgends gefordert.

26.10.2016, 21:09

der_unkluge

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aber wäre das gekürzte f(n) nicht auch

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$
gewesen? wodruch dann erst wieder
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

rausgekommen wäre?

Und noch eine Frage wenn ich darf:
Gäbe es einen rechnerischen weg ohne "abzuschätzen" ? Das Problem ist, dass wir bei Prüfungen keine Taschenrechner verwenden dürfen und es schön wäre einen Lösungsansatz zu haben (für den ich nicht über 1 stunde grüble) unglücklich

unglücklich

edit:
danke übrigens für die Hilfe bis hierhin!!!

26.10.2016, 22:14

Helferlein

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Richtig, aber Du hättest Dir ein paar unnötige Schritte gespart und vor allem wärst Du nicht dem Verdacht aufgesessen, dass Du das Kürzen nicht erkannt hast. (Was den Prüfer bewegen könnte, deine Arbeit etwas genauer anzuschauen)

Wie oben schon erwähnt wäre direktes Ausrechnen möglich, aber nicht wirklich einfacher gewesen.

Entscheidend ist hier die Gleichung $\begin{align*} \frac{n+1}{n^2+1}=\varepsilon \end{align*}$ . Sie führt auf die quadratische Gleichung $\begin{align*} 0=(n^2+1) \cdot \varepsilon - n -1 \end{align*}$ , welche sich nach dividieren durch $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ mit pq-Formel lösen lässt. Der Ausdruck ist aber wesentlich unhandlicher als der oben bei der Abschätzung.

26.10.2016, 22:59

der_unkluge

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okay danke,

aber wenn ich das nun mit der PQ formel ausrechnen würde hätte ich:

$\begin{eqnarray*} n^{2} -n + 0 \end{eqnarray*}$

was in der pq formel dann ja wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{-1}{2})^{2} - 0} \end{eqnarray*}$

was ja im endeffekt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

wäre. Also 1 oder 0.

26.10.2016, 23:07

Helferlein

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Nein, Du hast doch noch den Faktor $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ in der Gleichung. Der ist bei Dir - im übrigen genauso wie das =0 - weggefallen.

27.10.2016, 08:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von Helferlein
Es geht darum ein (geeignet großes) $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ zu finden, dass die Ungleichung $\begin{align*} \frac{n+1}{n^2+1}<\varepsilon \end{align*}$ erfüllt.

verwirrt

Hm. Es geht doch eher darum, ein N_0 zu finden, so daß die obige Ungleichung für alle n > N_0 erfüllt ist.

27.10.2016, 17:19

Helferlein

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Richtig, hab's oben korrigiert.
Der Tippfehler sollte aber auf den Rest des Threads keinen Einfluß haben.

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