Basen und Dimension von Polynomen

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26.10.2016, 20:31	Agla	Auf diesen Beitrag antworten »
Basen und Dimension von Polynomen Meine Frage: 1) Ich habe einen Unterraum W gegeben, der aus Polynomen vierten Grades, also a+bx+cx^2+dx^3+ex^4 und die Bedingung, dass a+b+c+d+e=0 ist, besteht. Nun soll ich sowohl eine Basis, als auch eine Dimension des Unterraums finden (und das Rank-nullity-Theorem verwenden) 2) f(a+bx)=a+b+(a-b)x ist gegeben. Ich muss eine Basis des Kern und des Bildes bestimmen, den Rank und Nullity und entscheiden ob es sich um einen Monomorphism oder epimorphism handelt. Meine Ideen: Ich habe mir gedacht, dass die Basis (1,x,x^2,x^3,x^4)ist und die Dimension 5 ist. Liege ich mit meiner Vermutung richtig? 2)Leider fehlt mir hier der Ansat. Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!
27.10.2016, 00:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte das eine Basis sein, wo kein einziges der genannten Elemente in der Menge W liegt Versuch einmal die Bedingung umzuformen, so dass Du sie in das Polynom einbauen kannst.
27.10.2016, 09:03	Agla	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, erstmal vielen Dank für die Antwort. Leider haben wir in der Vorlesung nicht wirklich besprochen, wie man eine Basis etc. von einem Polynom bestimmt, nur von Matrixen und das habe ich auch verstanden. Muss ich also mit der Bedinung a+b+c+d+e=0 arbeiten? Also, dass ich z.B. das ganze nach a umforme: a=-b-c-d-e und b,c,d,e freiwähle und dann als Basis (-1,1,0,0,0), (-1,0,1,0,0), (-1,0,0,1,0) und (-1,0,0,0,1) erhalte? Dann hätte ich vier l.u. Vektoren und somit wäre meine Dimension 4 oder? Ich bin mir leider sehr unsicher, wie ich mit dem Polynomen arbeiten muss. Und zu der anderen Aufgabe habe ich leider immer noch keine Idee. Muss ich dort a+b+(a-b)x =0 setzen um den Kern zu bestimmen? Oder muss ich mir das erst als MAtrix umschreiben? Vielen Dank!!!
27.10.2016, 12:37	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 1 Deine 4 Basisvektoren $\begin{eqnarray} \vec b_1, \vec b_2, \vec b_3, \vec b_4 \end{eqnarray}$ für den 4-dimensionalen Lösungsraum sind korrekt. Folglich sind alle Linearkombinationen $\begin{eqnarray} \vec b_1\cdot t_1+\vec b_2\cdot t_2+\vec b_3\cdot t_3+ \vec b_4\cdot t_4 \end{eqnarray}$ für beliebige Koordinaten $\begin{eqnarray} t_1, t_2, t_3, t_4 \end{eqnarray}$ Lösungen der Gleichung a+b+c+d+e=0. Aufgabe 2 Hier wird folgende Abbildung untersucht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a+b \\ a-b \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}_{\text{Abbildungsmatrix}} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Du sollst für die Abbildungsmatrix den Kern und das Bild bestimmen: Da die Determinante dieser Matrix den Wert -2 hat, hat diese Matrix den vollen Rang. Daraus kann man sofort Schlussfolgerungen über den Kern und das Bild ziehen.
27.10.2016, 16:38	agla	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank fuer die Antwort. Da die det nicht 0 ist, kann man folgern, dass sie Vektoren der Matrix linear unabhaengig sind. Die Matrix hat vollen Rang und der ist zwei. Mein Kern besteht aus den Vektoren ((1,0),(0,1)) und mein Bild aus den Vektoren ((1,1),(1,-1)). Stimmt das soweit? Eine Frage habe ich noch, stehe gerade etwas auf dem Schlauch Wie sind Sie von f(a+bx)=a+b+(a-b)x auf die Matrix gekommen? Vielen Dank!!!!
27.10.2016, 16:55	???mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Leute, ich habe fast die gleiche Aufgabe nur wie Nummer 1, dass bei bei mir nur b+c+d +e=0 gegeben ist. Ich habe jetzt gedacht, dass meine Basis so aussieht (0,1,-1,0,0),(0,1,0,-1,0), (0,1,0,0,-1). Aber dann fehlt ja ein Vektor. Kann ich dann einfach (1,0,0,0,0) hinzunehmen, weil der ja lu ist zu den anderen. Und ich muss noch die Dimension des Bildes bestimmen. Leider weis ich nicht wie das Bild bestimmt wird... kann mir wer helfen? P.S. Sorry, dass ich einfach mich so in die Frage einmische
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27.10.2016, 17:12	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Bild stimmt, der kern nicht. Weisst Du wie der Kern einer linearen Abbildung definiert ist? Und bleib bitte bei einem Namen. Wenn Du noch eine weitere Aufgabe hast, kannst Du sie gerne in einem separaten Thread posten, selbst wenn sie ähnlich wie die erste ist. Wozu Du Dich aber als zweite Person ausgibst, ist mir ein Rätsel.
28.10.2016, 09:17	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@agla Du fragst, wie man bei Aufgabe 2 die passende Abbildungsmatrix bestimmt. Antwort: Laut Aufgabenstellung soll die Funktion f(...) ein Polynom $\begin{eqnarray} ax^0+bx^1 \end{eqnarray}$ in ein Polynom $\begin{eqnarray} (a+b)x^0+(a-b)x^1 \end{eqnarray}$ umwandeln. Mit anderen Worten: Für den Koeffizienten vor der Potenz $\begin{eqnarray} x^0 \end{eqnarray}$ lautet die Abbildung $\begin{eqnarray} a\rightarrow a+b \end{eqnarray}$ Für den Koeffizienten vor der Potenz $\begin{eqnarray} x^1 \end{eqnarray}$ lautet die Abbildung $\begin{eqnarray} b\rightarrow a-b \end{eqnarray}$ Nun ist es nicht mehr schwer, daraus die passende Abbildungsmatrix zu basteln (Siehe meinen letzten Beitrag!).
28.10.2016, 09:29	agla	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Vielen Dank erstmal! Da die Determinante ungleich 0 ist, müsste der Kern 0 sein und die Dimension 1 haben, oder? Ist es richtig, dass es sich sowohl um einen Monomorphismus als auch um einen Epimorphismus handelt? Da f ein Homomorophismus (habe die Axiome geprüft) ist und bijektiv ( da det ungleich 0 ist). Leider habe ich immer noch nicht verstanden wieso man f als die angegebene Matrix schreiben kann.... liebe Grüße
28.10.2016, 09:31	agla	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!!!! Ich habe jetzt verstanden, wie man die Abbildungsmatrix aufstellt

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