Pythagoras - Abstandsberechnung Koordinatensystem

27.10.2016, 09:52	Bernd-Willy	Auf diesen Beitrag antworten »
Pythagoras - Abstandsberechnung Koordinatensystem Meine Frage: In einem Koordiantensystem werden Koordinaten eingetragen. (x=Wichtigkeit) und y = Zustand. Die Kombination beider Werte ergibt die Priorität. Grafisch kann die Priorität als Abstand im 90 Grad Winkel von einer Gerade durch den Nullpunkt (0/0) gesehen werden. Frage: Wie kann der ASbstand mittels des Satz des Pythagoras genau berechnet werden bzw. welche Mindesangabene müssen vorliegen? Vielen Dank! Meine Ideen: Nach der Ankathete auflösen, z.b. b?
27.10.2016, 10:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hat weniger mit Pythagoras zu tun, sondern vielmehr mit der Koordinatenberechnung in einem um 45° "gedrehten" Koordinatensystem. In dem Sinne ist dann $\begin{align} p = \frac{x+y}{\sqrt{2}} \end{align}$ .
27.10.2016, 11:28	Bernd-Willy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Aber wie kann die Formel hergelleitet werden. Hilft da der Satz des Pythagoras, also b = (c2-a2)^(1/2)
27.10.2016, 12:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt verschiedene Methoden, den Abstand eines Punktes von einer vorgebenen Gerade zu berechnen. Eine Methode wäre z.B. die Hessesche Normalform (HNF) der Gerade zu nutzen: Die lautet $\begin{align} \vec{n}\cdot \vec{x}=d \end{align}$ mit $\begin{align} \|\vec{n}\|=1 \end{align}$ und Abstand $\begin{align} d \end{align}$ vom Ursprung. In unserem Fall ist $\begin{align} d=0 \end{align}$ und die Gerade $\begin{align} y=-x \end{align}$ bzw. anders geschrieben $\begin{align} x+y=0 \end{align}$ , das ist vektoriell geschrieben $\begin{align} \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = 0 \end{align}$ und links den Vektor normiert dann $\begin{align} \vec{n}\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = 0 \end{align}$ mit $\begin{align} \vec{n} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix} \end{align}$ . Der Abstand eines beliebigen Punktes $\begin{align} \begin{pmatrix} x_0\\ y_0\end{pmatrix} \end{align}$ von dieser Gerade ist gleich $\begin{align} \left\| \vec{n}\cdot \begin{pmatrix} x_0\\ y_0\end{pmatrix} -d \right\| = \left\| \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_0\\ y_0\end{pmatrix} \right\| = \frac{x_0+y_0}{\sqrt{2}} \end{align}$ . Pythagoras kommt hier allenfalls zum Tragen bei der Normierung des Geradenrichtungsvektors $\begin{align} \vec{n} \end{align}$ .
01.11.2016, 11:10	Bernd-Willy	Auf diesen Beitrag antworten »
Meines Erachtens ist doch das Ziel, den Abstand zu berechnen zwischen dem Punkt auf der X-Achse (x,0) und dem Punkt auf der y-Achse (0,y). Die Verbindung dieser beiden Linien ergibt die Hypotenuse = hier Priorität. Ich kenne also die Länge der beiden Katheten, bilde ein Hilfsdreieck über den Koordinatenursprung (Lot) und kann somit c=(a^2+b^2)^(0,5) über den Pythaogoras ausrechnen. Ist es so korrekt und kann es sein, dass der Abstand genauso groß ist wie der Abstand auf der Linie laut beigefügter Grafik der 1. E-Mail? (Abstand von der 45 Grad Linie durch den (0/0) Punkt zu der x/y Korrdinate? Danke im Voraus!

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