Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks

27.10.2016, 12:47

Agent007DerWahre

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Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks

Meine Frage:
Aufgabe 4. Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks
Sei M die Menge aller Abbildungen $\begin{eqnarray*} \varphi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , die entweder einer Rotation um den
Ursprung, oder einer Spiegelung entlang einer Ursprungsgeraden entsprechen.
Betrachte nun ein gleichseitiges Dreieck $\begin{eqnarray*} \triangle \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , dessen Schwerpunkt dem Ursprung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
entspricht. Sei $\begin{eqnarray*} S \subset M \end{eqnarray*}$ die Teilmenge derjenigen Abbildungen $\begin{eqnarray*} \varphi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , die das Dreieck auf sich selbst abbilden.
(a) Beschreibe alle Elemente von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Wie viele sind es?

Das waeren doch 6, einmal die drei rotation mit 120, 240 und 360 grad und die drei Spiegelungen wo jeweils die Gerade, eine der Winkelhalbierende ist.
Oder sehe ich das falsch? Und gibt es dafuer eine formelle Notation?

(b) Bestimme die Untermenge $\begin{eqnarray*} X \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
derjenigen Punkte $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , sodass die Teilmenge
$\begin{eqnarray*} \{ \varphi(x) | \varphi \in S\} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ gleichmachtig sind.

Sind das jetzt alle Punkte dieses Dreiecks, oder wie muss ich mir das vorstellen?

Viele Gruesse.

Meine Ideen:
Siehe oben

27.10.2016, 17:48

Elvis

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a) ist soweit richtig, statt 360 würde ich 0 Grad vorziehen, das ist die identische Abbildung.
b) verstehe ich nicht. Das Bild von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ unter jedem $\begin{eqnarray*} \varphi \in S \end{eqnarray*}$ ist immer gleich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , hat also sicher mehr als 6 Elemente.

27.10.2016, 18:22

Leopold

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Ich führe die Bezeichnung $\begin{align*} S(x) = \left\{ \, \varphi(x) \, \left| \ \varphi \in S \ \right. \right\} \end{align*}$ ein. Für $\begin{align*} x \in \mathbb{R}^2 \end{align*}$ gilt dann:

$\begin{align*} x \in X \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| S(x) \right| = 6 \end{align*}$

Beispiele:

1. Der Ursprung gehört zum Beispiel nicht zu $\begin{align*} X \end{align*}$ , denn $\begin{align*} \left| S(0) \right| = 1 \end{align*}$ .

2. Eine Dreiecksecke $\begin{align*} a \end{align*}$ gehört auch nicht zu $\begin{align*} X \end{align*}$ , denn $\begin{align*} \left| S(a) \right| = 3 \end{align*}$ .

27.10.2016, 19:00

Agent007derWahre

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Zitat:

Original von Elvis
b) verstehe ich nicht. Das Bild von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ unter jedem $\begin{eqnarray*} \varphi \in S \end{eqnarray*}$ ist immer gleich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , hat also sicher mehr als 6 Elemente.

Also ich habe das nur genauso vom Blatt abgeschrieben.

Zitat:

Original von Leopold
Ich führe die Bezeichnung $\begin{align*} S(x) = \left\{ \, \varphi(x) \, \left| \ \varphi \in S \ \right. \right\} \end{align*}$ ein. Für $\begin{align*} x \in \mathbb{R}^2 \end{align*}$ gilt dann:

$\begin{align*} x \in X \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| S(x) \right| = 6 \end{align*}$

Beispiele:

1. Der Ursprung gehört zum Beispiel nicht zu $\begin{align*} X \end{align*}$ , denn $\begin{align*} \left| S(0) \right| = 1 \end{align*}$ .

2. Eine Dreiecksecke $\begin{align*} a \end{align*}$ gehört auch nicht zu $\begin{align*} X \end{align*}$ , denn $\begin{align*} \left| S(a) \right| = 3 \end{align*}$ .

$\begin{align*} S(x) = \left\{ \, \varphi(x) \, \left| \ \varphi \in S \ \right. \right\} \end{align*}$
warum $\begin{align*} S(x) \end{align*}$ und nicht nur $\begin{align*} S \end{align*}$ ?

Das hilft mir gerade nicht viel weiter, ich brauche dann ja sozusagen 6 Punkte aus $\begin{align*} \mathbb{R}^2 \end{align*}$ die der Menge $\begin{align*} X \end{align*}$ zu geordnet werden. Warum kann ich dann nicht einfach 6 beliebige Punkte nehmen?

27.10.2016, 19:47

Elvis

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Danke Leopold, ich hab's nun verstanden.
Damit wird $\begin{eqnarray*} X=\bigcup_{x\in\mathbb R^2,|S(x)|=6}x=\bigcup_{x\in\mathbb R^2,|S(x)|=6}S(x) \end{eqnarray*}$

28.10.2016, 08:32

Elvis

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Noch ein Tipp für den Fragesteller: Wenn eine Symmetrie einen Punkt fest lässt, also $\begin{eqnarray*} \varphi (x)=x \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x\notin X \end{eqnarray*}$ .

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28.10.2016, 08:35

Agent007derWahre

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Also ist das Dreieck nicht in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ?
Ich komm da immer noch nicht so weiter..
Was waere denn ein Bespiel fuer $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ ?

28.10.2016, 09:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Agent007derWahre
Was waere denn ein Bespiel fuer $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ ?

Na z.B. alle Punkte des Dreiecksumfangs mit Ausnahme der Eckpunkte und Seitenmittelpunkte.

Zitat:

Original von Agent007derWahre
Also ist das Dreieck nicht in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ?

Mit meinem vorgenannten Beispiel sollte wohl klar sein, dass das falsch ist.

28.10.2016, 09:23

Agent007DerWahre

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Hätte ich dann aber nicht mehr als 6 Punkte? Und die Teilmenge M wäre nicht gleich mächtig mit S?

28.10.2016, 09:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Agent007DerWahre
Hätte ich dann aber nicht mehr als 6 Punkte?

Ja - und? Es besteht doch nicht die Forderung $\begin{align*} |X|=6 \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} |S(x)|=6 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ , das sind fundamental verschiedene Dinge!

28.10.2016, 09:31

Agent007DerWahre

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Ok danke, habs verstanden

28.10.2016, 11:54

Elvis

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Tatsächlich ? Wie schreibst Du dann X auf ?

28.10.2016, 13:24

Agent007derWahre

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Nein hab mich vertan..
Aber nehmen wir an $\begin{eqnarray*} x \in \triangle \end{eqnarray*}$ bis auf die Ecken und Seitenmittelpunkte.
Und jetzt haben wir ja:
$\begin{align*} S(x) = \left\{ \, \varphi(x) \, \left| \ \varphi \in S \ \right. \right\} \end{align*}$
und wir nehmen an $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ waere die 120 Grad rotation. Dann bekaeme ich doch, wenn ich eine Seite des Dreiecks mit beliebig vielen Punkten, wieder beliebig viele Punkte? Also mehr als 6.
Die Elemente aus $\begin{align*} S(x) \end{align*}$ sind ja mit $\begin{align*} \varphi(x) \end{align*}$ definiert. Und $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ ist doch eine Abbildung. Muss ich jetzt nicht die Punkte finden die mit $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ auf insgesamt 6 Bildpunkte abgebildet werden?

28.10.2016, 13:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Agent007derWahre
Dann bekaeme ich doch, wenn ich eine Seite des Dreiecks mit beliebig vielen Punkten, wieder beliebig viele Punkte? Also mehr als 6.

Dein Problem scheint folgendes zu sein: Du bringst gedanklich ständig $\begin{align*} S(x) = \left\{ \varphi(x) \mid \varphi \in S \right\} \end{align*}$ (eine Menge mit maximal 6 Punkten) für einzelne $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ mit $\begin{align*} \bigcup_{x\in X} S(x) \end{align*}$ durcheinander. Letztere Vereinigung interessiert hier überhaupt nicht. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Agent007derWahre
Aber nehmen wir an $\begin{eqnarray*} x \in \triangle \end{eqnarray*}$ bis auf die Ecken und Seitenmittelpunkte.

Um einem möglicherweise vorliegenden Missverständnis vorzubeugen möchte ich hier ausdrücklich betonen, dass ich oben nur ein Beispiel für mögliche $\begin{align*} x\in X \end{align*}$ genannt habe - NICHT die gesamte Menge $\begin{align*} X \end{align*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2016, 14:14

Agent007derWahre

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Ok ich glaube jetzt habe ich das vertanden. Also man nimmt $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf 6 verschiedene Punkte abgebildet wird. Das heisst, falls x ein Eckpunkt waere, haette $\begin{eqnarray*} S(x) \end{eqnarray*}$ nur 3 Elemente. Also ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ alle Punkte, die nicht auf den Ursprungs geraden liegen, die in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sind.
Uiuiui da hab ich es mir schwerer gemacht, als es wirklich ist..

28.10.2016, 14:18

Elvis

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Du machst es dir viel leichter als es ist. Nur durch nachdenken oder zeichnen kommt man auf die Lösung, nicht durch raten.

28.10.2016, 14:34

Leopold

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Zur Unterstützung habe ich im Anhang eine dynamische Zeichnung gemacht. Ziehe am roten Kreuz. Die roten Punkte sind $\begin{align*} \color{red} S(x) \end{align*}$ .
Zum Öffnen des Programms verwende Euklid.

28.10.2016, 15:04

HAL 9000

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Das sollte nun deutlich genug sein (leider bin ich es und nicht der Threadersteller, der für den bisher einzigen Download steht).

28.10.2016, 16:57

Agent007derWahre

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das sollte nun deutlich genug sein (leider bin ich es und nicht der Threadersteller, der für den bisher einzigen Download steht).

Habe leider auch noch andere Sachen zu tun, wie unter anderem Einkaufen gehen oder die Wohnung sauber machen.

Zitat:

Original von Elvis
Du machst es dir viel leichter als es ist. Nur durch nachdenken oder zeichnen kommt man auf die Lösung, nicht durch raten.

Wenn du unter Raten verstehst, dass ich meine Denkprozesse und so wie ich es verstanden habe hier aufgeschrieben habe. Dann hast du natuerlich recht. Allerdings hat hier keiner einfach die Loesung angegeben, also bin ich schlussendlich durch nachdenken auf die Loesung gekommen.

Danke fuer eure Hilfe!
und Danke fuer die Zeichnung!

28.10.2016, 17:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Agent007derWahre
Habe leider auch noch andere Sachen zu tun, wie unter anderem Einkaufen gehen oder die Wohnung sauber machen.

Musst dich nicht gleich auf den Schlips getreten fühlen, die Info war ja eh für Leopold. Also kein Grund für irgendwelche Rechtfertigungen, welche mich im übrigen nicht die Bohne interessieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2016, 17:43

Agent007DerWahre

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Wenn es dich nicht interessiert, warum antwortest du dann? #showerthought

28.10.2016, 18:39

HAL 9000

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Wenn du angeblich so wenig Zeit hast, warum laberst du dann weiter - das Spiel kann ich auch. Big Laugh

Big Laugh

Aber nun ist gut, ich überlass dir das letzte Wort.

28.10.2016, 19:03

Elvis

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Hallo 007

falls Du immer noch keine Lösung hast, kommt hier noch ein Tipp: Die Identität hat ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ zu Fixpunkten. Wenn ein weiteres $\begin{eqnarray*} \varphi \in S \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ festhält, kann $\begin{eqnarray*} S(x) \end{eqnarray*}$ also nicht 6 Elemente haben, also nicht zu $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gehören.

Damit das hier eine ende hat, solltest du bitte zum guten Schluß die Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ aufschreiben.

28.10.2016, 20:20

Agent007derWahre

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn du angeblich so wenig Zeit hast, warum laberst du dann weiter - das Spiel kann ich auch. Big Laugh

Big Laugh

Aber nun ist gut, ich überlass dir das letzte Wort.

Touché

$\begin{eqnarray*} X := \{ x a\in \mathbb R^2 \mid \varphi(x) \neq x \} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \in S/x \mapsto \begin{pmatrix} cos(0) & -sin(0) \\ sin(0) & cos(0) \end{pmatrix} * x \end{eqnarray*}$
Ich hoffe, dass ist so richtig aufgeschrieben

29.10.2016, 09:24

Leopold

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Zitat:

Original von Agent007derWahre
$\begin{eqnarray*} X := \{ x a\in \mathbb R^2 \mid \varphi(x) \neq x \} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \color{blue} \varphi \in S/x \mapsto \begin{pmatrix} cos(0) & -sin(0) \\ sin(0) & cos(0) \end{pmatrix} * x \end{eqnarray*}$
Ich hoffe, dass ist so richtig aufgeschrieben

Ehrlich gesagt, kann ich dahinter keinen Sinn erkennen. Du legst im Nachgang $\begin{align*} \color{blue} \varphi \end{align*}$ als Identität fest. Die Eigenschaft $\begin{align*} \varphi(x) \neq x \end{align*}$ bedeutet damit $\begin{align*} x \neq x \end{align*}$ . Das ist offenbar für kein $\begin{align*} x \end{align*}$ erfüllt. Damit ist dein $\begin{align*} X \end{align*}$ die leere Menge, unabhängig davon, was das mysteriöse unvermittelte $\begin{align*} a \end{align*}$ bedeuten soll.

Nachdem sich immer mehr herauskristallisiert, daß du weder verstanden hast, worum es in der Aufgabe geht, noch in mengentheoretischer Sprache auszudrücken vermagst, was du verstanden zu haben vermeinst, wäre es an der Zeit, den mehrfach erteilten Rat unseres Rocksängers zu beherzigen, geometrisch an die Sache heranzugehen. Mach dir Zeichnungen oder schau dir die dynamische Zeichnung meines vorigen Beitrags an. Zieh an dem roten Kreuz. Immer dann, wenn es genau 6 Punkte gibt, definiert das rote Kreuz einen Punkt, der zu $\begin{align*} X \end{align*}$ gehört. Und immer dann, wenn es weniger als 6 Punkte gibt, einen Punkt, der nicht zu $\begin{align*} X \end{align*}$ gehört. Am besten beschreibst du die Menge der Punkte, die nicht zu $\begin{align*} X \end{align*}$ gehören. Und zwar ... in Worten! Die Formelsprache kommt hinterher.

29.10.2016, 10:03

Dopap

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*** gelöscht ***

29.10.2016, 11:51

Agent007derWahre

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Zitat:

Original von Leopold

Ehrlich gesagt, kann ich dahinter keinen Sinn erkennen. Du legst im Nachgang $\begin{align*} \color{blue} \varphi \end{align*}$ als Identität fest. Die Eigenschaft $\begin{align*} \varphi(x) \neq x \end{align*}$ bedeutet damit $\begin{align*} x \neq x \end{align*}$ . Das ist offenbar für kein $\begin{align*} x \end{align*}$ erfüllt. Damit ist dein $\begin{align*} X \end{align*}$ die leere Menge, unabhängig davon, was das mysteriöse unvermittelte $\begin{align*} a \end{align*}$ bedeuten soll.

Nachdem sich immer mehr herauskristallisiert, daß du weder verstanden hast, worum es in der Aufgabe geht, noch in mengentheoretischer Sprache auszudrücken vermagst, was du verstanden zu haben vermeinst, wäre es an der Zeit, den mehrfach erteilten Rat unseres Rocksängers zu beherzigen, geometrisch an die Sache heranzugehen. Mach dir Zeichnungen oder schau dir die dynamische Zeichnung meines vorigen Beitrags an. Zieh an dem roten Kreuz. Immer dann, wenn es genau 6 Punkte gibt, definiert das rote Kreuz einen Punkt, der zu $\begin{align*} X \end{align*}$ gehört. Und immer dann, wenn es weniger als 6 Punkte gibt, einen Punkt, der nicht zu $\begin{align*} X \end{align*}$ gehört. Am besten beschreibst du die Menge der Punkte, die nicht zu $\begin{align*} X \end{align*}$ gehören. Und zwar ... in Worten! Die Formelsprache kommt hinterher.

Das a gehoert da nicht hin, da hab ich verschrieben, nun habe ich die Menge definiert sodass $\begin{align*} \varphi(x) \neq x \end{align*}$ wobei $\begin{align*} \varphi(x) \in S \end{align*}$ ABER ohne die Rotation mit 0 Grad. Das heisst, dort sind nur noch die drei Spiegelungen und die zwei Rotationen 120 und 240 Grad. Wenn jetzt x auf einer der geraden liegt, gilt eindeutig das $\begin{align*} \varphi(x) = x \end{align*}$ . Da dies aber anders definiert ist, sind diese Punkte nicht drin. Also ich weiss nicht, was daran falsch sein soll.

29.10.2016, 11:55

Agent007derWahre

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Zitat:

Original von Agent007derWahre
Also man nimmt $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf 6 verschiedene Punkte abgebildet wird. Das heisst, falls x ein Eckpunkt waere, haette $\begin{eqnarray*} S(x) \end{eqnarray*}$ nur 3 Elemente. Also ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ alle Punkte, die nicht auf den Ursprungs geraden liegen, die in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sind.

Außerdem habe ich es doch dort in Worten definiert. Ich weiss auch nicht, wo dort der fehler sein soll, ausser das man es genauer haette beschrieben koennen.

29.10.2016, 12:03

Agent007derWahre

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Sei $\begin{eqnarray*} A: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 <br /> x \mapsto \begin{pmatrix} cos(0) & -sin(0) \\ sin(0) & cos(0) \end{pmatrix} * x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X := \{ x \in \mathbb R^2 \mid \varphi(x) \neq x \} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \in S\A \end{eqnarray*}$
Ich hoffe, das kann man so besser nach vollziehen

29.10.2016, 12:08

Agent007derWahre

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Zitat:

Original von Agent007derWahre
Sei $\begin{eqnarray*} A: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 <br /> x \mapsto \begin{pmatrix} cos(0) & -sin(0) \\ sin(0) & cos(0) \end{pmatrix} * x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X := \{ x \in \mathbb R^2 \mid \varphi(x) \neq x \} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \varphi \in S \setminus A \end{eqnarray*}$
Ich hoffe, das kann man so besser nach vollziehen

29.10.2016, 12:17

Leopold

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Zitat:

Original von Agent007derWahre
Also ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ alle Punkte, die nicht auf den Ursprungs geraden liegen, die in $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sind.

Zitat:

Außerdem habe ich es doch dort in Worten definiert. Ich weiss auch nicht, wo dort der fehler sein soll, ausser das man es genauer haette beschrieben koennen.

Die $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ sind ABBILDUNGEN. Wie kann eine Gerade in einer Abbildung liegen! Das ergibt doch keinen Sinn.

Das ist so ähnlich, als würde jemand sagen: "Mit X meine ich alle Städte, die nicht in den Ländern liegen, die im Berliner Bürgermeister Müller sind."
Das ist einfach sinnfrei.

Ein letzter Versuch - dann gebe ich auf:
Bitte beschreibe die Menge X geometrisch. Ich gebe ein (hier nicht zutreffendes) Beispiel:

X ist die Menge aller Punkte, die auf dem Umkreis des gleichseitigen Dreiecks liegen.

Und vergiß endlich den Formelkram. Erst mußt du die Lösung haben, dann kannst du sie, wenn's denn sein muß, mit Formeln beschreiben.

29.10.2016, 13:03

Agent007derWahre

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Alle Punkte, die nicht durch eine Spiegelung auf sich selber gespiegelt werden. Und eine Spiegelung wird doch an einer Geraden gemacht. Und es sind genau drei spiegelungen in phi, und diese drei werden allen an Ursprungs geraden gemacht, die durch die Eckpunkte verlaufen. Und wenn ein Punkt auf einer Geraden liegt, wo der Punkt gespiegelt werden soll, dann wird er auf sich selbst abbgebildet. ALso gibt es keine 6 Bildpunkte durch die 6 Abbildungen in S und demnach ist der Punkt nicht in X.

Ist mir jetzt auch egal, ob du denkst, ich haette das nicht verstanden.

29.10.2016, 13:39

Leopold

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Nachdem ich das jetzt gelesen habe, glaube ich, daß du es verstanden hast. Nur vermagst du es nicht auszudrücken. Denn der bloße Text ist wieder voller Ungereimtheiten und Fehlverwendungen von Begriffen. Du hättest es dir auch viel einfacher machen können:

$\begin{align*} X \end{align*}$ besteht aus allen Punkten, die nicht auf den Symmetrieachsen des Dreiecks liegen.

Und das war's.

29.10.2016, 14:30

Agent007derWahre

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Ok Danke

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