Symmetrische Gruppen... |
28.10.2016, 20:04 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Symmetrische Gruppen... Hallo, ich studiere seit 3 Wochen Mathe und habe jetzt einen neuen Übungszettel bekommen. Da keine einzige der gestellten Aufgaben Bestandteil der Vorlesungen war, schätze ich das mein Prof. entweder total eskaliert oder zum "Exmatrikulator" wird! Naja, ich hoffe mir kann hier jemand zu meiner Aufgabe helfen: a) bestimmen sie alle Elemente der symmetrische Gruppen S1,S2,S3 b)bestimmen sie die Ordnungen der Gruppenelemente von S1,S2,S3 c) Q(wurzel2)=(a+b*wurzel2 mit a,beQ), zeigen sie das (Q(wurzel2)ohne `(0), *) abelsche Gruppe ist o.O!? Meine Ideen: ich hab das jetzt in Selbstrecherche so verstanden das sym. Gruppen Abb. auf sich sind und bijektiv sein müssen, und die Elemente sind alle möglichen Zyklen... a)S1=((1)) oder =( Id ) S2=( Id, (12) ) S3=( id, (12), (13), (23), (123), (132) ) b)ich hab gegeben das g^n = neutrales Element neutrales Element ist bei sym. Gruppe Id Bsp mal aus S3 das Element (123) 1 wird abgebildet auf 2, 2 auf 3 und 3 auf 1. Das sind 3 Schritte bis man wieder am "Anfang" ist. Also ist (123)^3=Id => Ordnung ist 3? c)Hier tuts mir wirklich Leid, ich würde liebend gern hier auch eine Idee anbieten, hab aber keinen Plan wie ich mit der Situation umgehen soll |
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29.10.2016, 08:42 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, bei der a) ist die entscheidende Frage wie ihr in der Vorlesung der auf einem Übungsblatt symmetrische Gruppe definiert habt. Diese Definition gilt es hier zu verwenden. Solltet ihr "symmetrische Gruppe" nicht definiert haben beschwert Euch bitte beim Ersteller der Übungsblätter (vermutlich der Assistent der Vorlesung). Die Elemente sind richtig, der Aufschrieb ist verbesserungsbedürftig. Denn eine Gruppe ist keine Menge, das Schreibst du aber. b)
Nein hast du nicht. Das ist nicht die Defintion der Ordnung eines Elements. Das ist nur die darin vorkommende Formel. Der Text darum ist aber immens wichtig und kann nicht einfach so weggelassen werden. Mathematik ist keine Ansammlung von Formeln.
Das ist eine Heuristik, kein Beweis. Zeige, dass alle kleineren Potenzen nicht die Identität ist. Oder verwende den Satz von Lagrange falls bekannt. c) Diese Aufgabe ist komplett eindeutig gestellt, und eine absolute Standard Aufgabe die auch nach drei Wochen bereits ohne größere Probleme bereits lösbar sein sollte. Ihr habt sicherlich die definierenden Eigenschaften einer abelschen Gruppe gemacht. Es gilt hier nach zu weisen, dass diese erfüllt sind. Schau mal in dein Skript, so was habt ihr garantiert schon mal gemacht (egal ob mit oder ohne abelsch); imitiere das. |
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29.10.2016, 09:12 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
zur a) Für Menge M wurde die Gruppe der Permutationen (S(M), °) eingeführt. Wir definieren Sn=S((1,...,n)) und nennen (Sn, °) die symmetrische Gruppe (der Menge (1,...,n)) zur b) Für eine Gruppe (G, *) mit neutralem Element e und für ein Element geG heisst: o(g)=min(keN : g*...*g=e) die Ordnung von g (insbesondere ist o(e)=1). Bestimmen sie alle Ordnungen der Gruppenelemente von S1,S2,S3 |
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29.10.2016, 09:14 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich dachte bei der b) das gefragt ist wie oft ich g mit sich selbst verknüpfen muss bis das neutrale Element wieder raus kommt... |
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29.10.2016, 09:20 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
muss ich bei der c) jetzt zeigen das (a+b*wurzel2)*(a+b*wurzel2) abgeschlossen, assoziativ, kommutativ ist und inv. und neutr. Element enthällt? |
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29.10.2016, 09:37 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei c) mußt du zeigen, daß die Menge (!) der mit und unter der Multiplikation (!) abgeschlossen ist und zu jedem auch das multiplikative Inverse enthält. (Tip zum letzten Punkt: Durch Erweitern des Bruches im Nenner auf die dritte binomische Formel hinarbeiten, so daß die Wurzel herausfällt) Kommutativität und Assoziativität gehören zwar eigentlich auch auf die To-Do-Liste. Allerdings erübrigen sich hier die Nachweise, weil eine Teilmenge von ist. Und für sind Kommutativität und Assoziativität der Multiplikation bekannt. |
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29.10.2016, 09:43 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke dir, ich find trotzdem das die Aufgabe für 3.Woche zu hart ist. Allerdings gehör ich halt auch nicht zu diesen Überfliegern und bin relativ auf mich allein gestellt... |
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29.10.2016, 09:46 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du meinsts vermutlich das richtige, sprachlich ist das noch sehr holprig. Bei der Defintion der a) ist jetzt noch die Frage was ihr als Permutation versteht bzw. wie ihr die aufschreibt - du verwendest Zyklenschreibweise, und da du was von Selbstrecherche schriebst bin ich mir nicht sicher ob das aus der Vorlesung oder aus dem Internet ist. b) ja darum geht es ja auch. Wo ist das Problem? c) Nein, weil dieser Satz eine Ansammlung von Wörtern ist die nicht zusammenpassen. Es lönnte aber sein, dass du das richtige meinst. (a+b*wurzel2)*(a+b*wurzel2) ist eine Zahl. Eine Zahl ist weder assoziativ noch kommutiv und enthält auch keine Elemente. Eine Verknüpfung kann assoziativ bzw. kommutativ sein, eine Gruppe bzgl. einer Verknüpfung abgeschlossen sein, und in einer Gruppe kann es bzgl. einer Verknüpfung ein neutrales Element geben und inverse Elemente zu einem Element. |
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29.10.2016, 09:48 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Neu ist vor allem die Sprache der universitären Mathematik. Da ist für Anfänger immer ein gewisse Hürde zu überwinden. Wenn du die Aufgabe c) aber auf die benötigte Technik herunterbrichst, ist sie mit Schulmathematik lösbar. Allerdings ist die Schulmathematik im letzten Jahrzehnt so heruntergekommen (woran die Schüler am wenigsten schuld sind), daß ich den letzten Satz inzwischen nur noch mit Einschränkung sage. Also nicht jammern, sondern anpacken ... |
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29.10.2016, 09:52 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aufgabe ist objektiv für die dritte Woche nicht zu hart. Egal was du empfindest. Egal ob "überflieger" oder nicht.
Damit hast du deinen größten Fehler bereits festgestellt. Setz dich mit deinen Komilitonen zusammen und helft euch gegenseitig. Und vielleicht auch mal das lesen: alt.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/uebungsblatt |
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29.10.2016, 09:52 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jo, das hab ich auch schon gemerkt... Mein Mathelehrer hat sich wies aussieht die letzten Jahre wirklich nur aufs Nötigste beschränkt. Deswegen hab ich jetz so zu Rudern da viele Grundlagen fehlen (frustig für mich, aber lange kein Grund mein Studium aufzugeben ) muss halt viel selbst recherchieren und mir von anderen (*thx matheboard) helfen lassen |
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29.10.2016, 09:58 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@tatmas: Wir haben in der Vorlesung NIE etwas über symmetrische Gruppen oder Permutationen gehört. Hab im Internet und nem Buch nachgelesen, das Elemente von sym.Gr. in Zyklen geschrieben werden...und das halt so angenommen. |
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29.10.2016, 09:58 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schulmathematik ist und war seit Jahrzehnten keine Vorbereitung auf ein Studium der Mathematik. (was Lehramt sowie weite Teile der Statistik, Physik und Informatik einschließt) Maximal auf die Mathematik für Ingenieure aka Höhere Mathematik. |
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29.10.2016, 10:01 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Haste schon Recht, aber besseres Vorwissen in Bruchrechnung, Beträgen und Co. würden nicht schaden. Vorallem, weil manche meiner mit Studenten in der Schule schon Mengenlehre hatten -.- |
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29.10.2016, 10:03 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann ist nicht dein Mathelehrer an deiner Misere schuld sondern dein Deutschlehrer. Wieso antwotest du auf die Frage:
mit einer Definition aus dem Internet? Statt mit: Hatten wir keine. Insbesondere da ich danach ja geschrieben habe was du genau in diesem Fall machen sollst. (dich beschweren, weil in einer (Anfänger-)Vorlesung alle verwendeten Begriffe definiert sein müssen (!)) |
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29.10.2016, 10:11 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. Wie sollte ich den sonst die Elemente von S1,S2,S3... aufschreiben? 2. Falls du das meinst: Für Menge M wurde die Gruppe der Permutationen (S(M), °) eingeführt. Wir definieren Sn=S((1,...,n)) und nennen (Sn, °) die symmetrische Gruppe (der Menge (1,...,n)) ...das stand auf dem Übungsblatt, ändert doch aber trotzdem nichts an der Tatsache das wir dieses Thema nicht in der Vorlesung haben. 3. Bekomm das jetzt bitte nicht in den falschen Hals, aber kann es sein das du mich irgendwie dumm machen willst?Ich hab grade erst mit dem Studium angefangen und du tust so als ob ich das alles schon wissen müsste... |
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29.10.2016, 10:14 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ tatmas Eigentlich wollte ich deinen Link zu Professor Lehns Ratschlägen nur kurz überfliegen. Aber ich bin wie gebannt hängengeblieben. Ein hervorragendes Dokument. Unbekannterweise vielen Dank, Herr Professor! Und vielen Dank, tatmas, für den Link! Deinen Satz Schulmathematik ist und war seit Jahrzehnten keine Vorbereitung auf ein Studium der Mathematik. kann ich allerdings nicht unterschreiben. Ohne die Schulmathematik wäre die universitäre Mathematik nicht denkbar. Um es in der Sprache der Logik zu sagen: Die Schulmathematik ist notwendig, aber natürlich bei weitem nicht hinreichend für ein Studium der Mathematik. Und daß die Schulmathematik zur Zeit extrem defizitär ist, wer wüßte das besser als ich ... |
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29.10.2016, 10:24 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also noch mal zur c) Q(wurz2)=(a+b*wurz2 : a,beQ) Ich muss zeigen das (Q(wurz2) ohne (0), *) eine abelsche Gruppe ist: Assoziativität und Kommutativität erübrigen sich erstmal, da diese für die Multiplikation in R bekannt sind neutrales Element e: a*e=a (a+b*wurz2) * e = (a+b*wurz2) => e=1 inverses Element a´: a*a´=e (a+b*wurz2) * a´= 1 => a´= 1/(a+b*wurz2) Abgeschlossenheit: Q(wurz2) c R, da eine reelle Zahl multipliziert mit einer anderen reellen Zahl ebenfalls in R liegt, ist die Verknüpfung abgeschlossen. |
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29.10.2016, 10:44 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du mußt sorgfältiger im Aufschrieb sein. Ich darf Professor Lehn zitieren (siehe den Link von tatmas): Eine Lösung zu einer Aufgabe besteht aus einem umgangssprachlichen schriftlichen Text in deutscher Sprache. Deutsch steht hier nicht im Gegensatz zu Englisch oder Russisch, sondern im Gegensatz zu Mathsprech oder irgendeiner anderen korrumpierten Kommunikationsform. Ihre Argumentation soll formaler Strenge genügen, nicht die Sprache. Schreiben Sie gute Prosa. Ihr Text soll also aus ganzen Sätzen bestehen. Jeder Satz enthält ein Subjekt und ein Prädikat. Vermeiden Sie Ketten von logischen Symbolen. Vermeiden Sie aber auch umständliche verbale Umschreibungen, wenn es dafür eine konzise Symbolik gibt. Hier ist die Vorlesung nicht immer Vorbild! Aber die Vorlesung ist eine im wesentlichen mündliche Veranstaltung. Textgestaltung an der Tafel hat andere Aufgaben als Textgestaltung auf dem Papier. Deine Lösung verstößt gegen diese Grundregeln. Ich greife einmal den Punkt
auf und zeige dir beispielhaft, wie man eine Lösung aufschreiben kann. Neutrales Element Zu zeigen ist: Es existiert ein mit für alle Offenbar ist das Element dafür geeignet. EDIT Dieser blau getextete Lösungsvorschlag enthält noch eine Unachtsamkeit. In einem folgenden Beitrag wird das ausgebessert. Achte insbesondere auf die korrekten Quantoren "es gibt", "für alle" bei solchen Beweisen. Die scheinbar umständliche Schreibweise zeigt, daß tatsächlich der Menge angehört. In meiner Formulierung der Lösung ist kein Wort zu viel. Gehe unter diesen Gesichtspunkten deinen Beweis zu den inversen Elementen noch einmal durch. Insbesondere fehlt in deinem Beweis das Wichtigste, nämlich der Nachweis, daß ist. Halte dich an die Definition der Elemente von und beachte meinen Tip von vorhin. |
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29.10.2016, 10:46 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für den Tipp, aber ich hätte das sowieso nochmal ordentlich und fachgerecht aufgeschrieben (.^_^.) Ich bin aber im Matheboard zu blöd für die ganzen Zeichen, weshalb ich das alles immer so kurz wie möglich schreibe. Aber ansonsten stimmt meine Lösung halbwegs? Frage: warum hast du da jetzt die 0 mit rein genommen? Ich dachte a,b != 0? |
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29.10.2016, 10:58 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Darf ich wieder Herrn Lehn zitieren? Geben Sie niemals die erste Version Ihrer Niederschrift ab. Fertigen Sie in jedem Falle mindestens eine saubere Abschrift Ihrer Lösungen an! Einen Text, in dem mehrfach Korrekturen angebracht sind, in dem ganze Passagen durchgestrichen und neu gesetzt sind, bei dem der Leser aufgefordert wird, Ergänzungen von der letzten Seite einzuschieben, sollte man niemandem vorlegen. Lesen Sie Ihren Text auch unter dem folgenden Gesichtspunkt noch einmal durch: Überzeugt die Argumentation des Textes Sie eigentlich selbst? Mal ganz ehrlich? Wenn nicht, fangen Sie von vorn an. Das ganze ist ein harter, manchmal mühseliger Vorgang. Aber der Stolz auf eine gleichermaßen richtige wie schöne Lösung wird Sie entschädigen. Im Moment hast du noch keinen Grund, stolz zu sein.
In Herrn Lehns Sinn: nein.
Nein, es steht nirgendwo, daß sein müssen. Du hast das nicht genau genug gelesen. Es steht nur da, daß sich die Untersuchung auf bezieht. Und wenn du jetzt meinst, das sei doch dasselbe wie , dann täuschst du dich. Überlege genau, was das für bedeutet? |
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29.10.2016, 11:07 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Inverses Element: Zu zeigen ist: es existiert ein a´eQ(wurz2) für alle aeQ(wurz2) mit a*a´=e Offenbar gilt a´= 1/(a+b*wurz2). Indem man 1/(a+b*wurz2) mit (a-b*wurz2) erweitert, erhält man (a-b*wurz2)/(a+b*wurz2)(a-b*wurz2) => (a-b*wurz2)/(a^2-2*b^2), wobei (a^2-2*b^2)eQ(wurz2) |
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29.10.2016, 11:10 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich darf meinen Lösungsvorschlag von vorhin ausbessern: Neutrales Element Zu zeigen ist: Es existiert ein mit für alle Offenbar ist das Element dafür geeignet. Um nicht immer den länglichen Mengenausdruck schreiben zu müssen, bietet es sich an, am Anfang des Lösungstextes den Bezeichner einzuführen. Der Buchstabe G soll dabei an "Gruppe" erinnern. Dann geht es ein bißchen bequemer aufzuschreiben: Neutrales Element Zu zeigen ist: Es existiert ein mit für alle Offenbar ist das Element dafür geeignet. Das ist gemeint, wenn der Professor Lehn meint, daß man versuchen soll, eine einmal gefundene Lösung zu optimieren, sei es in mathematischer Hinsicht oder auch nur, wie hier, in Bezug auf einen prägnanteren Aufschrieb. |
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29.10.2016, 11:18 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also könnte ich jetzt für das inverse Element z.B. zeigen? a´= 1/(a+b*wurz2) = 1/(2+0*wurz2)=1/2eQ(wurz2) ohne (0) Wobei e=1 = (2+0*wurz2) * 1/(2+0*wurz2) |
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29.10.2016, 11:19 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin immer noch nicht überzeugt. Warum liegt ? Da fehlt noch ein Schritt, daß man es glauben mag. Insbesondere der Teil
verdunkelt mehr als er erhellt. Zwar ist die letzte Aussage richtig, aber nicht hinreichend für das, was man zeigen will. |
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29.10.2016, 11:22 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schon die Formulierung "das inverse Element" irritiert. Es gibt nicht "das" inverse Element. Zu zeigen ist, daß jedes ein inverses Element besitzt. Und auch sonst ist das Letzte ziemlich sinnfrei. Vorhin warst du schon weiter ... Vielleicht hilft ein Beispiel (auch das ein Rat von Professor Lehn). Was wäre denn das inverse Element von ? |
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29.10.2016, 11:29 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
e=1 = (a-b*wurz2)/(a^2-2*b^2) * (a^2-2*b^2)/(a-b*wurz2) = = (a-b*wurz2)*(a^2-2*b^2) / (a-b*wurz2)/(a^2-2*b^2) = 1/1 = 1eQ ohne (0) |
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29.10.2016, 11:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich merke, du kommst nicht drauf, was noch fehlt. Dann muß ich deutlicher werden: muß auf die Form mit gebracht werden. Erst das zeigt, daß es in liegt. Du mußt immer die Definition der Elemente von beachten. Es ist ja nur ein klitzekleiner Umformungsschritt. |
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29.10.2016, 13:48 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und die Abgeschlossenheit ergibt sich daraus das Q(wurz2) Teilmenge von R ist, und eine reelle Zahl multipliziert mit einer reellen Zahl auch in R liegt? An der Stelle übrigens nochmal Danke, das du die Nerven aufbringst, nem Noob wie mir zu helfen. |
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29.10.2016, 13:59 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nur solltest du jetzt endlich diesen Punkt erledigen. Er harrt noch immer auf Antwort:
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29.10.2016, 14:03 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Du mußt zeigen, daß für und auch von dieser Form ist: (mit und ) |
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29.10.2016, 14:27 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
a´= (a-b*wurz2)/(a^2-2*b^2) /*(a^2-2*b^2) a´*(a^2-2*b^2) = (a-b*wurz2) / : (a-b*wurz2) a´*(a+b*wurz2) = 1 = e : e ist Element von Q(wurz2) ohne (0) a+b*wurz2 = 1/a´ |
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29.10.2016, 14:54 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein. Sondern so: Daß sind, ist klar, denn ist ein Körper und daher abgeschlossen bezüglich der Grundrechenarten. Da und nach Voraussetzung nicht zugleich sein können, ist dies auf für der Fall, wie man an den Zählern sehen kann. Jedes Element besitzt daher ein Inverses . |
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29.10.2016, 15:00 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach das "ohne (0) bedeutet das die MENGE nicht 0 sein kann, aber a oder b (halt nur einer von denen) dürfen 0 sein? |
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29.10.2016, 15:13 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Klar. oder dürfen Null sein, nur nicht beide zugleich. Zum Beispiel (wieder mit ) Dagegen: Womit auch das hier geklärt wäre:
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29.10.2016, 15:15 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann hab ich ja jetzt endlich mal halbwegs verstanden, worums hier überhaupt geht! Danke! Ich schätze mal man sieht, das mir das Studium nicht gerade leicht fällt (.^_^.) |
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29.10.2016, 15:23 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach, wir hatten hier schon viel schlimmere Fälle. So übel ist das gar nicht bei dir. Da war nur ein Knoten im Gehirn. Aber wie ehedem Alexander den Gordischen Knoten zerhieb, so haben wir jetzt auch den deinen durchgehauen. Jetzt fehlt noch dieses hier:
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29.10.2016, 15:29 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nur nochmal so zusammengefasst damit ich jetzt aufm Stand der Dinge komm: Ich hab jetzt die ganze Zeit das inverse a´gesucht, wobei dieses 1/(a+b*wurz2) ist. Anschließend musste ich noch beweisen, das a´ebenfalls in Q(wurz2) ohne (0 =DIE MENGE) liegt. Das wiederrum geht nur, wenn a oder b, oder keiner von denen aber niemals beide 0 sind. Und deshalb musste ich jetzt a´auseinander nehmen um zu zeigen, das die Zähler unterschiedliche Werte haben, weil somit "0+0*wurz2 ==> Menge = 0" ausgeschlossen wird...! |
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29.10.2016, 15:41 | Felix1109 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also die Abgeschlossenheit soll ja zeigen, das wenn ich (a+b*wurz2) * (a+b*wurz2) (wobei die Verknüpfung hier ja mal ist) rechne, das das Ergebnis wieder in der Menge Q(wurz2) ohne (0) liegt... Also hätte ich jetzt wahrscheinlich als erstes an (a+b*wurz2) * (a+b*wurz2) ---> Binom. Formel gedacht |
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29.10.2016, 15:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
An ein paar Fasern hängt der Knoten noch zusammen. Du mußt dir die Elemente von klarmachen. Der hintere Teil besagt, daß die Zahl 0 nicht dazugehören soll. Das ist sozusagen eine (wichtige) Nebensache. Jetzt zur Hauptsache. Das ist die Beschreibung der Elemente von . Diese sind durch ein Muster erklärt, nämlich Passen reelle Zahlen auf dieses Muster, gehören sie zu , ist es dagegen nicht möglich, sie auf dieses Muster zu bringen, gehören sie nicht dazu. paßt auf dieses Muster (mit den rationalen Zahlen und ) paßt auf den ersten Blick nicht auf dieses Muster, kann aber auf dieses Muster gebracht werden (mit den rationalen Zahlen und , unbedingt nachrechnen!) kann in keiner Weise auf dieses Muster gebracht werden (Begründung: Transzendenz der Zahl), gehört also nicht zu dagegen gehört wieder dazu, denn (mit und ) dagegen gehört nicht dazu. Für die Abgeschlossenheit mußt du daher zeigen: Sind von diesem Muster, so ist auch von diesem Muster. Was das ausführlich heißt, habe ich in einem vorigen Beitrag geschrieben. Ich sehe gerade, daß du einen weiteren Beitrag geschrieben hast. Dort formulierst du aber nur , du mußt aber untersuchen. |
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