Bild,Urbild,Injektivität

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Thon Auf diesen Beitrag antworten »
Bild,Urbild,Injektivität
Bitte um Korrektion

Wir betrachten die Funktion



Zeigen Sie, dass die Funktion injektiv ist







Hätte ich es damit komplett gezeigt?

Berechnen Sie das Bild



Urbild von der Funktion f vom Intervall ]0,1[
[1,3/2]


________________

f(x)=x²-2x-3

Urbild im Intervall von -unendlich bis null

Wäre das Ergebnis hier die leere Menge? Ja oder?

Vielen dank
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



Was ist das Urbild von ]0,1[ ?

Zu [-1,-0.5[ gibt es keine Urbilder. Trotzdem Injektiv?


--------------------------------------------------------------


Gibt es zu keine Urbilder?

aber: ohne Definitionsmenge und Zielmenge ist das gar keine Funktion !
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Einwurf:

Zitat:
Zu [-1,-0.5[ gibt es keine Urbilder. Trotzdem Injektiv?

Ja, was du ansprichst hat nichts mit Injektivität, sondern mit Surjektivität zu tun.
Thon Auf diesen Beitrag antworten »

Urbild:
Urbild von der Funktion f vom Intervall ]0,1[
[1,3/2]





Injektivität:

Hmm heißt nicht injektiv, dass keine Höhen zweimal getroffen werden dürfen? Oder anders gesagt, man schaut sich ja die Elemente der Wertemenge an und jedes Element darf höchstens einmal getroffen werden bzw. erreicht werden.
D.h. ein Bereich der nicht definiert, hat ja keinen Einfluss auf die Injektivität. Theoretisch. Oder? verwirrt

___________________________________

Sorry, ich hatte vergessen zu schreiben, dass diese Funktion von R nach R definiert ist.
Ich hatte gedacht, weil man sich ja das Intervall von -unendlich bis null betrachtet wo nicht sein darf.
Wenn das nicht der Fall ist, würde ich sagen:
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thon
Urbild:
Urbild von der Funktion f vom Intervall ]0,1[
[1,3/2]

ich bin aber für

Zitat:

[...] Hmm heißt nicht injektiv, dass keine Höhen zweimal getroffen werden dürfen? Oder anders gesagt, man schaut sich ja die Elemente der Wertemenge an und jedes Element darf höchstens einmal getroffen werden bzw. erreicht werden.
D.h. ein Bereich der nicht definiert, hat ja keinen Einfluss auf die Injektivität. Theoretisch. Oder? verwirrt


nicht Wertemenge [ im deutschen Gebrauch] , sondern Zielmenge = Obermenge von Wertemenge.
]-1,-0.5[ ist aber Teil der Zielmenge ! ergo bleibt es bei Injektiv auch wenn Guppi anderer Meinung ist.
2. Funktion später
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ich komme mehr von der Physik. Mehrdeutiges ist mir zuwider.

1.) Rede immer von Zielmenge, Wertemenge und Definitionsmenge, nie von Bereichen
( im Deutschen )

2.) eine Funktion hängt nicht von dem verwendeten Argumentzeichen ab. Vermeide y
Schreibe bei der Zuordnung möglichst

3.) f sei bijektiv dann gibt es eine Umkehrfunktion. die Schreibfigur ist dafür nicht richtig, hat sich aber eingebürgert. Deswegen musst du für das Reziproke schreiben.

4.) Vorsicht mit ,die hat im x-y Koordinatensystem denselben Graphen wie

Jetzt überprüfe nochmals deine post.
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo bin ich denn anderer Meinung? Ich habe bestätigt, dass die Berechnung zur Injektivität richtig ist und das, was du angesprochen hattest, nichts mit Injektivität zu tun hat. Das ist übrigens auch nicht meine Meinung, sondern schlicht die Definition.
Thon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild,Urbild,Injektivität
Ich verstehe, wie das Intervall zustande kommt, natürlich muss man ja bis unendlich gehen, weil wenn man 0,..... Werte im Nenner hat, wird ja der Bruch immer größer. Ich Blödi Hammer

Wie zeige ich das aber mathematisch, dass die Funktion injektiv ist? Hätte ich das so gezeigt?
Zitat:
Original von Thon
Zeigen Sie, dass die Funktion injektiv ist





Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild,Urbild,Injektivität
Zitat:
Original von Thon

Zeigen Sie, dass die Funktion injektiv ist







ja.
Thon Auf diesen Beitrag antworten »

Juhu ok gut Und das Bild habe ich richtig bestimmt oder?


______________

Dann nur noch die letzte Aufgabe und zwar

von der Funktion f(x)=x²-2x-3 welche von R nach R definiert ist smile

Ist das so richtig? ^^
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nein, die Funktion hat keine Umkehrfunktion, da nicht Injektiv.

Warum?
Thon Auf diesen Beitrag antworten »

Was ehrlich? Hatte es umgestellt, um damit den Widerspruch zur Surjektivität aufzubringen. verwirrt


Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

mmh, es gibt zwar eine Umkehrrelation und die hat 2 Wurzeläste wie du schön gezeigt hast, aber nicht wenn du weiterhin x und y nicht vertauscht.
Sonst sind die Graphen identisch, nicht an der 1. Winkelhalbierenden gespiegelt, wie es sein sollte.

optischer Test für Injektiv: waagerechte Linien schneiden den Graphen höchstens einmal !

und wie sieht das bei unserer Parabel aus ?
Thon Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die waagerechte Linie schneidet den Graphen bei f(-1)=f(3) bei unterschiedlichen Argumenten bzw. x_1 und x_2 Werten

Daraus muss ja folgen, dass der Graph nicht injektiv ist. Heißt das auch, dass die Funktion keine Umkehrrelation hat? verwirrt

Also hat die Funktion kein Urbild? verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thon
Ja die waagerechte Linie schneidet den Graphen bei f(-1)=f(3) bei unterschiedlichen Argumenten bzw. x_1 und x_2 Werten

zum Beispiel


Zitat:

Daraus muss ja folgen, dass der Graph nicht injektiv ist. Heißt das auch, dass die Funktion keine Umkehrrelation hat? verwirrt

du meinst bestimmt "keine Umkehrfunktion hat" oder ?
dann stimmt es

Zitat:

Also hat die Funktion kein Urbild? verwirrt


Was meinst du damit genau ? welche Funktion ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
nein, die Funktion hat keine Umkehrfunktion, da nicht Injektiv.


Auch wenn dir mehrdeutiges zuwider sein mag: die Schreibweise bezeichnet nicht die Umkehrfunktion sondern das Urbild der Menge unter .

Und nein, für ist das Urbild von nicht das von dir angegebene Intervall (was du übrigens noch zu zusammenfassen solltest). Rechne da nocheinmal nach.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@Iorek: mit wem redest du ?
Thon Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap
Meine die Parabelfunktion f(x)=x²-2x-3

@Iorek

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap, meine erste Aussage war an dich gerichtet, weil du lediglich als Umkehrfunktion aufgefasst und die Bedeutung der Schreibweise als Urbild komplett unterschlagen hast.

Meine zweite Aussage war an Thon gerichtet. Und auch ist nicht das Urbild. Zeig doch einmal deine Rechnung, wie du darauf kommst.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

f hat zwar keine Umkehrfunktion geschrieben ( leider ),

aber bezeichnet eine Urbildmenge , aha !

Dann ist es ja der passende Zeitpunkt auszusteigen.
Thon Auf diesen Beitrag antworten »





Für erhält man keine Werte.





Daraus folgt: Intervall -1 bis 3 oder?


@Dopap Danke für die Hilfe Wink
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt zwar, aber die Begründung ist noch recht schwammig. Du setzt für die Zahlen und ein und erhältst Ergebnisse für und . Warum nimmst du jetzt aber den größten/kleinsten Wert für die Intervallgrenzen? Warum könnte nicht auch im Urbild liegen? Und wie kannst du sicher stellen, dass du mit deiner Rechnung auch alle Zahlen zwischen und bekommst?

Geh einmal anders an die Frage nach dem Urbild: schreibe für einmal mit Hilfe der Definition die Menge hin, welche wir hier bestimmen. Was heißt es, wenn eine Zahl ein Urbild ist? Das sollte dich auf eine Ungleichung führen, welche man dann sehr einfach lösen kann.
Thon Auf diesen Beitrag antworten »







So oder? verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Idee her ist das absolut richtig. Freude

Die Schreibweise würde ich noch anpassen (statt eher um konsistent zu bleiben), wichtiger ist aber die Begründung für den letzten Schritt:



Da kommt es jetzt ganz darauf an, wie elementar oder fortgeschritten ihr argumentieren sollt. Wenn du das noch ergänzt, war es das aber. smile
Thon Auf diesen Beitrag antworten »

Juhu Tanzen Ich hätte da noch nur ne kurze Frage, nur um zu schauen, ob ich das verstanden hab smile




Bild von [0,1] ist [-1,0]

Urbild von ]0,1[
Hier gelten ja zwei Ungleichungen einmal f(x) >0 und f(x) < 1

f(x) > 0

(x-1)/(x+1) > 0 |*(x+1)
x-1 > 0 |+1

x > 1

(x-1)/(x+1) < 1 |*(x+1)
x-1 < x+1 |-x
-1 < 1

Ich kann hier die zweite Aussage nicht interpretieren unglücklich
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht, dass wir hier zwei Ungleichungen haben. Wir suchen nun alle , die gleichzeitig beide Ungleichungen erfüllen.

Eine kurze Vorbemerkung:

hast du bei der Umformung auf das Vorzeichen des Nenners geachtet? Generell muss man bei Ungleichungen auf das Vorzeichen achten, wenn man mit etwas multipliziert.

Zu deiner ersten Ungleichung: stimmt, d.h. diese Ungleichung wird von allen Zahlen erfüllt.

Zu deiner zweiten Ungleichung: auch hier ist deine Rechnung korrekt, was kannst du denn über sagen?

Insgesamt: welche Einschränkungen müssen also an gemacht werden, damit beide Ungleichungen erfüllt sind?
Thon Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich habe auf das Vorzeichen geachtet, ich habe mir aber gedacht, da das x ja keine negativen Zahlen annehmen kann, weil die Definitionsmenge von 0 bis unendlich definiert ist, dreht sich ja das Ungleichzeichen nicht um glaube ich. verwirrt

Naja -1 < 1 ist ja eine wahre Aussage. Habe in der Schule gelernt, wenn man eine wahre Aussage enthält, hat man unendlich viele Lösungen verwirrt

Wenn das der Fall, würde ich sagen

]1,unendlich[
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thon
Ja ich habe auf das Vorzeichen geachtet, ich habe mir aber gedacht, da das x ja keine negativen Zahlen annehmen kann, weil die Definitionsmenge von 0 bis unendlich definiert ist, dreht sich ja das Ungleichzeichen nicht um glaube ich. verwirrt


Absolut richtig, ich wollte nur nachfragen weil das erfahrungsgemäß oft vergessen wird.

Naja -1 < 1 ist ja eine wahre Aussage. Habe in der Schule gelernt, wenn man eine wahre Aussage enthält, hat man unendlich viele Lösungen verwirrt
Zitat:
Original von Thon

Ebenfalls richtig, auch die Folgerung, dass man (wahrscheinlich) unendlich viele Lösungen hat (es gibt Ausnahmen, wo man nicht unendlich viele Lösungen hat, aber zumindest im Hinterkopf sollte man das mit unendlich vielen behalten).

[quote]Original von Thon
Wenn das der Fall, würde ich sagen

]1,unendlich[


Da hätte ich jetzt gern noch eine Erklärung zu, wie du auf dieses Intervall kommst. Danach hab ich sonst keine Einwände mehr. smile
Thon Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm also hab mir das so vorgestellt x muss ja > 1 sein. D.h. wir haben schon unsere erstere Intervallgrenze und zwar 1, jetzt muss man noch überlegen bis wohin man geht, da man bei der zweiten Ungleichung -1 < 1 bekommt, müsste man ja unendlich viele Lösungen haben.

Deshalb hatte ich mir gedacht, dass ich dann bis unendlich gehe - Meine Begründung ist voll schwammig aber anders habe ich nicht gedacht Big Laugh
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

So schwammig ist ist gar nicht. Lediglich das mit dem "unendlich" ist nicht so gut geeignet, das lässt sich z.B. so umgehen:

  1. Eine erste Bedingung für die gesuchten versteckt sich direkt am Anfang: . Hier wird bereits festgelegt, dass wir haben. (Streng genommen müsste man hier überprüfen, ob es sich wirklich um eine Funktion handelt, aber das lassen wir an dieser Stelle mal außer Acht). Das geht auch in den weiteren Rechnungen ein, wenn du mit den Nennern multiplizierst und feststellst, dass diese positiv sind.
  2. Jetzt stellst du als Bedingung: . Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass ist.
  3. Als letztes stellst du die Bedingung . Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass ist. Formulieren wir das anders:

    ist kleiner als , wenn ist. Und da offensichtlich wahr ist, ist auch für alle die wir uns gerade angucken.

Insgesamt haben wir: , und . Alle diese Ungleichungen müssen gleichzeitig erfüllt sein. Die letzte Ungleichung schränkt unser in keiner Weise ein, also können wir die ignorieren. Die ersten beiden Ungleichungen sind gleichzeitig erfüllt, wenn und , also wenn ist.
Thon Auf diesen Beitrag antworten »

Wow - Das ist genial was du gemacht hast ^^ Seitdem ich Ana 1 studiere, lerne ich langsam so bissel mathematisch zu denken
Bin aber noch Anfängerin

Vielen Dank für die Hilfe du hast mir echt geholfen, habe sehr viel dazu gelernt smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwann hat jeder mal angefangen, meistens mit Ana oder LA 1. Augenzwinkern
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