Endlicher Körper, nicht konstantes Polynom

01.11.2016, 17:49

Simeon16

Endlicher Körper, nicht konstantes Polynom

Meine Frage:
Hallo Zusammen

Ich habe folgende Aufgabe vor mir und komme auf keine grünen Zweig:
Sei F ein endlicher Körper. Zeigen Sie, dass ein nicht konstantes Polynom $\begin{eqnarray*} f \in F[X] \end{eqnarray*}$ existiert, das keine Nullstellen in F hat.

Meine Ideen:
Meine Vermutung ist, dass ich zeigen muss das es ein irreduzibles Polynom in F gibt nur wie?

01.11.2016, 18:12

Leopold

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Die multiplikative Gruppe $\begin{align*} F^{*} \end{align*}$ des Körpers hat $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ Elemente, wenn der Körper $\begin{align*} n \end{align*}$ Elemente besitzt. Nach einem bekannten Satz der elementaren Gruppentheorie muß daher $\begin{align*} \alpha^{n-1} = 1 \end{align*}$ für jedes $\begin{align*} \alpha \in F^{*} \end{align*}$ gelten. Multipliziert man diese Gleichung mit $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ durch, wird sie auch noch von $\begin{align*} 0 \end{align*}$ erfüllt. Jetzt ist es nicht mehr weit zum gesuchten Polynom $\begin{align*} f(X) \end{align*}$ .

01.11.2016, 19:13

Simeon16

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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Leider hilft mir dein Tipp nicht weiter. Ich muss ja zeigen, dass es kein $\begin{eqnarray*} a \in F \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(a)=0 \end{eqnarray*}$ .
Ich verstehen nicht was du mit "Multipliziert man diese Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ durch, wird sie auch noch von 0 erfüllt" meinst, denn in der Multiplikation muss ja gelten: $\begin{eqnarray*} (F - \{0\},*) \end{eqnarray*}$ ist eine abelische Gruppe . Von wo kommt diese Null, die du erwähnst?
Danke für die Antwort

01.11.2016, 19:45

Leopold

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Nun, der Sinn meines Vorschlages ist es, eine Gleichung anzugeben, die von allen $\begin{align*} \alpha \in F \end{align*}$ erfüllt wird. Damit du aus dieser mit einer klitzekleinen Änderung eine basteln kannst, die von keinem $\begin{align*} \alpha \in F \end{align*}$ erfüllt wird.

Zitat:

Original von Simeon16
Ich verstehen nicht was du mit "Multipliziert man diese Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ durch, wird sie auch noch von 0 erfüllt" meinst

Tu's einfach.

Zitat:

Original von Simeon16
denn in der Multiplikation muss ja gelten: $\begin{eqnarray*} (F - \{0\},*) \end{eqnarray*}$ ist eine abelische Gruppe . Von wo kommt diese Null, die du erwähnst?

$\begin{align*} 0 \in F \end{align*}$

03.11.2016, 16:10

Simeon16

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Ich hab mich heute nochmals an der Aufgabe versucht, leider immer noch ohne Erfolg.
Es gilt ja $\begin{eqnarray*} K = \{a_0,a_1,...,a_n\} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, dass es ein Polynom gibt $\begin{eqnarray*} f \in K[X] \end{eqnarray*}$ das keine Nullstellen in K hat. Ein Polynom lässt sich schreiben als $\begin{eqnarray*} a(x)=a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+...+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$
Ich hab über die Formel $\begin{eqnarray*} a^{n-1}=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \in F \end{eqnarray*}$ und der Versuchsgruppe $\begin{eqnarray*} Z_7 \end{eqnarray*}$ versucht was herzuleiten, aber ich sehe keinen Weg, wie ich auf das gesuchte Polynom kommen soll?

03.11.2016, 21:24

Leopold

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Ich weiß nicht, warum du nicht einfach tust, was ich dir vorgeschlagen habe. So weit waren wir bereits:

Für jedes $\begin{align*} \alpha \in F^{*} \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} \alpha^{n-1} = 1 \end{align*}$ . Die Gleichung bleibt wahr, wenn man sie mit $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ multipliziert:

$\begin{align*} \alpha^n = \alpha \end{align*}$

Die letzte Gleichung gilt aber auch noch für $\begin{align*} \alpha = 0 \end{align*}$ . Somit haben wir:

$\begin{align*} \alpha^n - \alpha = 0 \, , \ \ \alpha \in F \end{align*}$

Anders gesagt: Das Polynom $\begin{align*} g(X) = X^n - X \end{align*}$ hat sämtliche Elemente von $\begin{align*} F \end{align*}$ als Nullstellen. Jetzt gib ein Polynom ohne Nullstellen an.

04.11.2016, 00:18

Guppi12

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Meiner Meinung nach ist die Aufgabe nicht ganz eindeutig gestellt. Es gibt keine konstanten Polynome, weil Polynome keine Funktionen sind. Es gibt höchstens Polynome vom Grad 0. Natürlich hat man zu jedem Polynom auch eine zugehörige polynomielle Funktion und die kann dann auch konstant sein. Es ist nun hier die Frage, was gesucht ist, ein Polynom, das nicht Grad 0 hat oder eine polynomielle Funktion, die nicht konstant ist.

Falls letzteres der Fall ist, müsste man einen anderen Ansatz als jenen von Leopold wählen, weil das Polynom, das er hingeschrieben hat als Polynom zwar nicht das Nullpolynom ist, als polynomielle Funktion aber das gleiche wie die konstante Nullfunktion ist, den Aufwand hätte man sich dann auch sparen können.

04.11.2016, 09:21

Leopold

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Ich kenne das so, daß in der Lehre der Polynome die Begriffe "konstantes Polynom" und "Polynom vom Grad 0 oder Nullpolynom" synonym sind. Daß man den Begriff "konstant" nur für Funktionen verwendet, wäre mir neu.
Natürlich legst du den Finger auf einen wunden Punkt. Denn das von mir angegebene Polynom $\begin{align*} g(X) = X^n - X \end{align*}$ ist zwar nicht das Nullpolynom, denn es hat den Grad $\begin{align*} n \end{align*}$ , die Funktion $\begin{align*} \alpha \mapsto g(\alpha) \end{align*}$ für $\begin{align*} \alpha \in F \end{align*}$ ist jedoch die Nullfunktion. Man hätte $\begin{align*} g(X) \end{align*}$ übrigens auch durch eine Faktorisierung angeben können:

$\begin{align*} g(X) = \prod_{\alpha \in F} (X - \alpha) \end{align*}$

Mal hören, was Simeon16 zu all dem sagt.

04.11.2016, 13:26

Simeon16

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Ich gebe dir recht Leopold, für mich sind die Begriffe ebenfalls synonym. Wie sich herausstellte, hatte ich die Lösung vor mir, nur habe ich den entscheidenden Schritt $\begin{eqnarray*} a^n-a = 0 \end{eqnarray*}$ und somit die endgültige Lösung $\begin{eqnarray*} g(X)=X^n-X+c, c \in N \end{eqnarray*}$ aus den Augen verloren. Danke für die Hilfe! Freude

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