Beweis: Binomialkoeffizient in Summe = 0

03.11.2016, 12:49

Glynatheel

Beweis: Binomialkoeffizient in Summe = 0

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,

ich bräuchte bei einem Beweis eure Hilfe.
ich soll beweisen, dass...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

hat mir jemand einen Tipp?

Meine Ideen:

ich habe für... eingesetzt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!*(n-k)!} \end{eqnarray*}$

nun steht...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k * \frac{n!}{k!*(n*k)!} = 0 \end{eqnarray*}$

wie komme ich nun weiter?

mit der vollständigen Induktion stoße ich auf ein Problem denn für n=1 wäre $\begin{eqnarray*} (-1)^0 * \frac{1}{1*1} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Ein Tutor gab den Tipp man solle es ab dort mit der binomischen Formel versuchen/auflösen/wie auch immer Big Laugh

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

03.11.2016, 13:02

zyko

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RE: Beweis: Binomialkoeffizient in Summe = 0
Steht in der Fragestellung irgendwo, dass diese Aussage gilt für $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$ ?
Wieso hast du für $\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$ nur einen Summanden berücksichtigt?

03.11.2016, 13:21

Matt Eagle

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RE: Beweis: Binomialkoeffizient in Summe = 0
Wende den binomischen Lehrsatz an auf

$\begin{eqnarray*} 0=(1+(-1))^n. \end{eqnarray*}$

03.11.2016, 13:54

Glynatheel1

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Woher kommt das 0 = (1 + (-1))^n ?

03.11.2016, 14:11

Matt Eagle

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Auf diese Frage kann ich keine sinnvolle Antwort geben.
Jedenfalls handelt es sich dabei offenbar um eine Gleichung und zielführend wäre es nun, wie bereits erwähnt, auf die rechte Seite der Gleichung den binomischen Lehrsatz anzuwenden.

03.11.2016, 14:14

HAL 9000

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Man könnte $\begin{align*} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} ~{\color{red}1^{n-k}}~(-1)^k \end{align*}$ als Zwischenschritt ins Feld führen. Augenzwinkern

03.11.2016, 15:18

Glynatheel2

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Irgendwie hab ich noch immer nicht durchgeblickt 🙁

03.11.2016, 15:39

klarsoweit

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RE: Beweis: Binomialkoeffizient in Summe = 0
Der binomische Lehrsatz ist dir aber bekannt? Wenn ja, mußt du doch nur den Tipp von Matt Eagle beherzigen:

Zitat:

Original von Matt Eagle
Wende den binomischen Lehrsatz an auf

$\begin{eqnarray*} 0=(1+(-1))^n. \end{eqnarray*}$

Ich meine, wir helfen ja gerne, aber so richtig verstehen wir dein Problem nicht. verwirrt

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