Umkehrfunktion berechnen

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03.11.2016, 15:18	Zitrone	Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion berechnen Meine Frage: Hallo ihr Lieben, Wahrscheinlich eine sehr einfache Frage, aber ich steh seit 2 Stunden total auf dem Schlauch: Ich soll die Umkehrfunktion (f^-1) für .(x1) . (x1 + x2) f(x2)= (x1 - x2) Berechnen. Meine Ideen: Ich hab bis jetzt nur gefunden, dass man eigentlich nach x auflöst und dann x und y vertauscht, aber ehrlich gesagt versteh ich nicht, wie das hier funktionieren soll (und auch nichts im Internet gefunden, was mir wirklich weiterhilft...)
03.11.2016, 15:22	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja so ist das, wenn man stur auswendig lernt. $\begin{eqnarray} x_1=x \quad\text{und}\quad x_2=y \end{eqnarray}$
03.11.2016, 15:24	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion berechnen Ich verstehe deine Schreibweise nicht? Was bedeuten die Punkte?
03.11.2016, 15:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion berechnen @Dopap Es ist sicher $\begin{eqnarray} f(x_1, x_2) = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ x_1 - x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gemeint, also $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Der Ansatz von Zitrone ist das `klassische' für ein-dimensionale Funktonen.
03.11.2016, 15:29	Zitrone1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion berechnen @Dopap.Ja, auf die Idee mit x1 und x2 in x und y umwandeln bin ich auch gekommen..Nur dann hab ich dann ja f(x,y) also 2 unbekannte..versteh ich nicht, wie mir das weiterhilft @IfindU: genau, die Funktion ist gemeint. Wusste nur nicht wie ich das hier so schreiben kann (deswegen der Punkt als lückenhalter)
03.11.2016, 15:35	Zitrone	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion berechnen Also hab ich das richtig verstanden - ich brauch einen anderen Ansatz, weil keine 'klassische' eindimensional Funktion ist?
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03.11.2016, 15:36	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
bleib mal bei deinem Namen. @Ifindu: ist es eigentlich egal ob man Tupel und Spaltentupel vermengt ?
03.11.2016, 15:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Streng formell vermutlich nicht, wenigstens nicht wenn ich sage, dass $\begin{eqnarray} f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Wenn man $\begin{eqnarray} X = \{ (x_1, x_2): x_1, x_2 \in \mathbb R \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y = \left\{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, x_1, x_2 \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray}$ schreibt, habe ich streng formal $\begin{eqnarray} f: X \to Y \end{eqnarray}$ definiert. Bei längeren Termen finde ich die pmatrix-Umgebung besser als die Tupel-Schreibweise, bei kurzen geht das Komma nicht ganz so schnell unter (und ich muss nicht so viel TeX schreiben ). Edit: Um den Thread vlt etwas voran zu bringen. Wie in 1D kann man $\begin{eqnarray} y = f(x) \end{eqnarray}$ setzen und auflösen. Bloss diesmal sind es Vektoren, es ist also $\begin{eqnarray} (y_1, y_2)^T = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ x_1 - x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} (x_1,x_2)^T \end{eqnarray}$ umzustellen. Das ist ein lineares Gleichungssystem. Das einfachste ist zu schreiben $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ x_1 - x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix}] \end{eqnarray}$
03.11.2016, 16:13	Zitrone	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also investiere ich diese Funktionsmatrix dann einfach und multipliziert sie wieder mit dem Vektor (x1, x2) ? Mit anderen Worten die Lösung wäre (sorry für die blöde schreibweise, aber ich Check Grad nicht wies anders geht): .( x1) . (1,5 x1 + 0,5 x2) f (x2)= (-0,5x1 - 0,5x2) Oder bin ich immer noch auf dem Holzweg?
03.11.2016, 16:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee stimmt, bloss hast du dich verrechnet. Und nenn die Funktion lieber $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ . Schließlich ist es die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , und nicht $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ selbst. Wenn du auf "Zitat" bei meinen Beiträgen geht, siehst du wie ich die Sachen geschrieben habe. Allerdings ist LaTeX etwas gewöhnungsbedürftig.
03.11.2016, 16:55	Zitrone	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, Rechenfehler gefunden Vielen vielen Dank! $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,5x1 & 0,5x2 \\ 0,5 x1 & - 0,5x2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
03.11.2016, 17:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zahlen und Vorzeichen sehen gut aus, bloss weiß ich nicht, was die 2x2 Matrix aussagen soll. Am Ende solltest du eine Funktion $\begin{eqnarray} g : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ finden, so dass $\begin{eqnarray} (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Wenn es ein 2x1 Vektor wäre, so könnte man es als Definition für $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ nehmen, so nicht.

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