Beschränktes Wachstum algebraisch regressieren

03.11.2016, 17:22

Elija A.

Beschränktes Wachstum algebraisch regressieren

Meine Frage:
Ich suche einen Weg, um eine Funktion mit beschränktem Wachstum anhand einer Formel algebraisch zu regressieren. Ich habe bereits eine Formel für y-Werte zusammengestellt, die linear ansteigen; also für z.B. folgende Tabelle:

Für die Funktion $\begin{eqnarray*} y = 400 - 396 e^{-0,02x} \end{eqnarray*}$ ergeben sich folgende Werte an den Stellen von 0 bis 9.

$\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$
---+-------
0 | 4
1 | 11,84...
2 | 19,53...
3 | 27,06...
4 | 34,45...
5 | 41,68...
6 | 48,78...
7 | 55,73...
8 | 62,55...
9 | 69,23...
$\begin{eqnarray*} y = 400 - (400 - 4) \times e^{ln(\frac{\sum\limits_{k=2}^{10} (1 - \frac{1 - \frac{400 - x_{k} }{400 - x_{k-1}} }{i_{k}-i_{k-1}} )}{10 - 1} )} = 400 - 396 e^{-0,02x} \end{eqnarray*}$

Bei y-Wert-sprüngen wird das Ergebnis leider etwas ungenau:

$\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$
---+-------
0 | 4
1 | 11,84...

3 | 27,06...
4 | 34,45...

6 | 48,78...
7 | 55,73...
8 | 62,55...
9 | 69,23...
$\begin{eqnarray*} y = 400 - (400 - 4) \times e^{ln(\frac{\sum\limits_{k=2}^{10} (1 - \frac{1 - \frac{400 - x_{k} }{400 - x_{k-1}} }{i_{k}-i_{k-1}} )}{10 - 1} )} = 400 - 396 e^{-0,0199428569x} \end{eqnarray*}$

___________________

Meine Frage ist, wie die Formel richtig ergänzt werden müsste, damit die Funktion auch bei y-Wert-sprüngen korrekt sind?
Jeder Tipp ist Hilfreich Big Laugh

Meine Ideen:

Das ist meine derzeitige Formel: $\begin{eqnarray*} y = x_{\infty } - (x_{\infty } - x_{0}) \times e^{ln(\frac{\sum\limits_{k=2}^{\sum\limits_{}^{}( x_{i}^{ 0} ) } (1 - \frac{1 - \frac{x_{\infty } - x_{k} }{x_{\infty } - x_{k-1}} }{i_{k}-i_{k-1}} )}{\sum\limits_{}^{}( x_{i}^{0}) - 1} )} \end{eqnarray*}$

16.10.2023, 20:56

DrummerS

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RE: Beschränktes Wachstum algebraisch regressieren
Dieser Fragesteller ist zuletzt im Jahr 2016 "aktiv" gewesen. Im Fall von $\begin{eqnarray*} y=a+b \cdot e^{c \cdot x} \end{eqnarray*}$ könnten mit 3 Wertepaaren $\begin{eqnarray*} \left(x_{i},y_{i} \right) \end{eqnarray*}$ drei Gleichungen aufgestellt werden, die ineinander eingesetzt zu diesem Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \frac{y_{2}-y_{1}}{y_{3}-y_{1}} = \frac{e^{c \cdot x_{2}}-e^{c \cdot x_{1}}}{e^{c \cdot x_{1}}-e^{c \cdot x_{3}}} \end{eqnarray*}$

führen könnten. Wie kommt man nun an c ran?

17.10.2023, 09:56

IfindU

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RE: Beschränktes Wachstum algebraisch regressieren

Zitat:

Original von DrummerS
Dieser Fragesteller ist zuletzt im Jahr 2016 "aktiv" gewesen. Im Fall von $\begin{eqnarray*} y=a+b \cdot e^{c \cdot x} \end{eqnarray*}$ könnten mit 3 Wertepaaren $\begin{eqnarray*} \left(x_{i},y_{i} \right) \end{eqnarray*}$ drei Gleichungen aufgestellt werden, die ineinander eingesetzt zu diesem Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \frac{y_{2}-y_{1}}{y_{3}-y_{1}} = \frac{e^{c \cdot x_{2}}-e^{c \cdot x_{1}}}{e^{c \cdot x_{1}}-e^{c \cdot x_{3}}} \end{eqnarray*}$

führen könnten. Wie kommt man nun an c ran?

Mit $\begin{eqnarray*} z = e^c \end{eqnarray*}$ kann man schreiben $\begin{eqnarray*} \frac{e^{c \cdot x_{2}}-e^{c \cdot x_{1}}}{e^{c \cdot x_{1}}-e^{c \cdot x_{3}}} = \frac{z^{ x_{2}}-z^{ x_{1}}}{z^{x_{1}}-z^{ x_{3}}} \end{eqnarray*}$ . D.h. es ist im Kern Nullstellen von Polynomen bestimmen. Sind $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ hübsch genug, kriegt man etwas allgemein lösbares raus. Ansonsten .... verwirrt

19.10.2023, 19:44

DrummerS

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RE: Beschränktes Wachstum algebraisch regressieren
Danke für den Tipp Freude

. Spaßeshalber habe ich mit $\begin{eqnarray*} x_{1} = 0, x_{2} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{3} = 2 \end{eqnarray*}$ weitergerechnet, wobei Vorzeichenfehler in meinem letzten Post aufgefallen sind Finger1

. Korrektur:

$\begin{eqnarray*} \frac{y_{2}-y_{1}}{y_{3}-y_{1}}=\frac{e^{c \cdot x_{2}}-e^{c \cdot x_{1}}}{e^{c \cdot x_{3}}-e^{c \cdot x_{1}}}=\frac{z^{x_{2}}-z^{x_{1}}}{z^{x_{3}}-z^{x_{1}}} \end{eqnarray*}$

Lösungen der quadratischen Gleichung:

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = \frac{y_{3}-y_{1}}{2 \left(y_{2}-y_{1}\right) } \pm \frac{1}{y_{2}-y_{1}} \sqrt{ \frac{\left(y_{3}-y_{1}\right)^2}{4}-\left(y_{3}-y_{2}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)} \end{eqnarray*}$

Subtrahieren und Resubstituieren führt zu $\begin{eqnarray*} \ln(z_{1})=c=-0.02 \end{eqnarray*}$ . Andernfalls ergibt sich $\begin{eqnarray*} z_{2}=1 \end{eqnarray*}$ , was im obigen Ausdruck nicht definiert wäre.

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