Gruppenhomomorphismen

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03.11.2016, 21:24	Felix1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismen Meine Frage: Kannn mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Ich hab echt 0 Plan Welche der folgenden Abbildungen sind Gruppenhomom.? Hierbei soll die Verknüpfung auf Z (Schatten Z) und R(Schatten R) die übliche Addition sein. ii) $\begin{eqnarray} f: Z-> Z/nZ, k->\left[2k\right] \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die anderen Aufgaben aus dem Block hab ich schon erledigt, wobei ich halt auf die folgenden Regeln getestet hab: 1) $\begin{eqnarray} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} f(eZ)=eR \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} f(g^-1)=(f(g))^-1 \end{eqnarray}$ Mein Problem besteht darin, das ich mir nichts unter Z/nZ vorstellen kann. Ich weiß das es irgendwie die Restklassen von Z sind... ja, das war´s leider auch schon
04.11.2016, 09:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} (G,) \end{eqnarray}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ein Normalteiler von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , dann wird die Faktormenge $\begin{eqnarray} G/N=\{xN:x\in G\} \end{eqnarray}$ eine Gruppe vermöge der wohldefinierten Verknüpfung $\begin{eqnarray} :G/N \times G/N\to G/N, (xN)(yN)\mapsto (xy)N \end{eqnarray}$ . Die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray}$ sind einfach die Restklassen $\begin{eqnarray} \overline 0=0+n\mathbb Z,...,\overline {n-1}=n-1+n\mathbb Z \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \overline x+\overline y=\overline {x+y} \end{eqnarray}$ gilt.
04.11.2016, 10:05	Felix1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn jetzt die ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} Z=\left\{ ...,-2, -1, 0,1,2,...\right\} \end{eqnarray}$ sind, dann ist $\begin{eqnarray} Z/Zn=\left\{ 0,1,2,...(n-1)\right\} \end{eqnarray}$ ? Welche Bedeutung haben da jetzt die Querstriche?
04.11.2016, 10:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich schon geschrieben, die Restklassen sind keine Zahlen sondern Mengen, genauer Elemente der Faktorgruppe. (Eigentlich sogar Elemente des Faktorrings, denn die Kongruenzrelation ist mit Addition und Multiplikation verträglich, das spielt hier aber keine Rolle.) Übrigens gilt für einen Gruppenhomomorphismus immer $\begin{eqnarray} f(g^{-1})f(g)=f(g^{-1}g)=f(e)=e'\Rightarrow f(g^{-1})=(f(g))^{-1} \end{eqnarray}$ das muss man also nicht nachweisen. Wegen $\begin{eqnarray} f(e)=f(ee)=f(e)f(e)\Rightarrow f(e)=e' \end{eqnarray}$ ist auch das nicht immer wieder zu beweisen. Es genügt zu zeigen $\begin{eqnarray} \forall a,b\in G:f(ab)=f(a)f(b) \end{eqnarray}$ Das hast Du bestimmt schon bei Vektorräumen in der linearen Algebra gelernt, weil $\begin{eqnarray} (V,+) \end{eqnarray}$ eine (abelsche) Gruppe ist. Für jede lineare Abbildung f gilt $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(-v)=-f(v) \end{eqnarray}$
04.11.2016, 11:37	Felix1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten noch keine Vektorräume Der gibt uns jede Woche Aufgaben, wozu wir z.T. noch keinen Vorlesungsstoff geschweige denn Übungen gemacht haben... Nicht zu Vergessen, das davon ca 50% auf Englisch sind -.-
04.11.2016, 11:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das konnte ich nicht wissen. Ich dachte, man studiert erst lineare Algebra und später Algebra. Dann wäre ein Vektorraum ein schön einfaches Beispiel für eine Gruppe, und wesentliche Eigenschaften von Homomorphismen wären schon bekannt. Macht aber gar nichts. Alles was ich zu Gruppenhomomorphismen und der Faktorgruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/n\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ geschrieben habe, ist richtig und wichtig. Das Beispiel ist von enormer Bedeutung, denn es ist praktisch der Prototyp für Faktorgruppen.
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04.11.2016, 11:44	Felix1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin in der 4. Studienwoche, und mache auch lin.Algebra, aber wir bekommen trotzdem immer Aufgaben zu Vorlesungsstoff, der noch nicht dran war und meistens 1-2 Wochen später erst kommt.
04.11.2016, 11:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
prima, wenn man vorher schon übt, kommt man gut vorbereitet in die Vorlesung. C.F.Gauß hat sich seinerzeit über die Studenten aufgeregt, die ohne Vorkenntnisse und unvorbereitet in seine Vorlesungen kamen. (nein, ich war nicht dabei ... ich habe es in einer Gauß-Biografie gelesen.)
04.11.2016, 11:50	Felix1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem gut vorbereitet sein is so ne Sache... Die Aufgaben sind (aus meiner Sicht zumindest) Sau schwer, und ich finde ja einfach nichts dazu... Und wenn ich einfach irgendwas abschreibe, nütz mir das einfach NICHTS.
04.11.2016, 12:03	Felix1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Blatt haben wir Mittwoch bekommen, Montag ist Abgabe so läuft das jede Woche). Ich sitz hier seit Mittwoch ca. bis 22Uhr und habe bis jetzt: Teile von 1a) -____-
04.11.2016, 12:56	Felix1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde das dann ausreichen für den Beweis das diese Funktion ein Gruppenhomo. ist, wenn ich das zeige? $\begin{eqnarray} f: \left(k1+k2\right) = f: \left(k1\right) + f: \left(k2\right) = 8(k1+k2) \end{eqnarray}$
04.11.2016, 12:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das so ist, dann helfe ich dir mal mit mehr als den äußerst nützlichen Definitionen, die ich dir bisher gegeben habe und die Du dir unbedingt einmal in Ruhe ansehen solltest, weil das Beispiel wirklich enorm wichtig ist. $\begin{eqnarray} f(x+y)=\overline {2(x+y)}=\overline {2x+2y}=\overline{2x}+\overline {2y} \end{eqnarray}$ (hier habe ich die Definition gebraucht !) $\begin{eqnarray} =f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ (also ist $\begin{eqnarray} f: (\mathbb Z,+)\to (\mathbb Z/n\mathbb Z,+), k\to \overline {2k} \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus) Wenn dich meine Schreibweise verwirrt hat, tut mir das leid. Für die Kongruenzklassen schreibt man manchmal $\begin{eqnarray} \overline x \end{eqnarray}$ und manchmal $\begin{eqnarray} [x] \end{eqnarray}$ . Das ist völlig gleichbedeutend.
04.11.2016, 13:02	Felix1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach dafür steht diese komische Klammer!? Danke, jetzt begreif ich auch so langsam, worums bei der Aufgabe überhaupt geht. Und ich muss für den Beweis, das es ein Gruppenhomo. ist, wirklich nur die erste Regel (siehe Frage) prüfen? Wobei das + da halt grade die Verknüpfung von den jeweiligen Gruppen ist.
04.11.2016, 13:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ente gut, alles gut Zu deiner Zusatzfrage. Ja, alles andere gilt sowieso (siehe oben) . wenn das in der Vorlesung noch nicht bewiesen wurde, schreibst Du eben meinen Beweis auf den Übungszettel, das gibt einen Punkt für besonders intelligente Leistung. (Mathematik ist die Vermeidung unnötiger Arbeit durch Intelligenz.)
04.11.2016, 13:12	Felix1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur mal so, das ist jetzt eine andere Aufgabe aus dem Block, die ich schon gelöst habe. $\begin{eqnarray} f: Z->R , k->8k \end{eqnarray}$ Dann müsste ja das als Beweis so richtig aufgeschrieben sein, oder? $\begin{eqnarray} f: (x+y) = 8(x+y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f: (x) + f: (y) = 8x+8y = 8(x+y) \end{eqnarray}$
04.11.2016, 13:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss immer die Gruppenoperation bekannt sein,nicht nur die Menge, und dann schreibt man das so: Behauptung: $\begin{eqnarray} f : (\mathbb Z,+)\to (\mathbb R,+),k\mapsto 8k \end{eqnarray}$ ist ein Gruppenhomomorphismus. Beweis: $\begin{eqnarray} \forall x, y \in \mathbb Z : f(x+y)=8(x+y)=8x+8y=f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ Behauptung: $\begin{eqnarray} f : (\mathbb Z,\cdot)\to (\mathbb R,\cdot),k\mapsto 8k \end{eqnarray}$ ist kein Gruppenhomomorphismus. Beweis: $\begin{eqnarray} f(3\cdot 3)=8\cdot 9=72, f(3)\cdot f(3)=(8\cdot 3)\cdot (8\cdot 3)=24\cdot 24=576 \end{eqnarray}$
04.11.2016, 13:39	Felix1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wäre die hier zum Bsp. (Z, +)->(Z, +) Behauptung: $\begin{eqnarray} f: Z -> Z, k->k+8 \end{eqnarray}$ ist Gruppenhomo. Beweis: $\begin{eqnarray} \forall x,y\in Z f: (x+y)= (x+y)+8 \neq (x+8)+(y+8) = f: (x) +f: (y) \end{eqnarray}$ Folglich ist dies kein Gruppenhomo.
04.11.2016, 13:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Man sollte aber immer die Wahrheit behaupten, nicht die Unwahrheit. Die Behauptung lautet dann $\begin{eqnarray} f: (\mathbb Z,+)\to (\mathbb Z,+), k\mapsto k+8 \end{eqnarray}$ ist kein Gruppenhomomorphismus. Und man schreibt $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} f: (x) \end{eqnarray}$ Man sieht das übrigens sofort wegen $\begin{eqnarray} f(0)=8\ne 0 \end{eqnarray}$

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