Basis von Untervektorraum berechnen

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manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von Untervektorraum berechnen
Hey Leute,

ich soll 3 verschiedene Basen dieses UVR berechnen:

{[latex]{A\in Q^{3x3}|A_{11}+A_{22}=0}[/latex]}

Ich kann Basen mittels Gauss-Verfahren bzw. die Basis eines homogenen Gleichungssystems berechnen.

Hierbei konnte ich das aber nicht anwenden.. bzw. hab nicht entdeckt, dass es funktionieren würde.

Kann mir jemand sagen, wie man hier vorgeht?
Mir ist klar, dass ich durch Probieren draufkommen würde, wie viele Elemente bzw. Spalten meine Basis dann haben soll/muss, sei aber anscheinend noch nicht in unserem Stoff besprochen worden.

Danke und LG
Manuel
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RE: Basis von Untervektorraum berechnen
Zitat:
Original von manuel459
wie viele Elemente bzw. Spalten meine Basis dann haben soll/muss

Eine Basis besteht aus Elementen, aber keinesfalls aus Spalten.

Überlege dir erst mal, wie denn eine Basis von [l]Q^{3x3}[/l] aussieht.

Zitat:
Original von manuel459
Ich kann Basen mittels Gauss-Verfahren bzw. die Basis eines homogenen Gleichungssystems berechnen.

Nun ja, die Bedingung [l]A_{11} + A_{22}[/l] führt letztlich auf ein homogenes Gleichungssystem.
 
 
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Untervektorraum berechnen
sorry es sollte Q2x2 heißen!

naja, da hab ich doch einfach die 4 Standardmatrizen

inwiefern ist das zu erreichen?

ich hätte hier einfach die 4 Standardmatrizen mit Koeffizienten geschrieben (als Linearkombination) und dann die Bedingung eingesetzt, woraus ich dann aus 4 dann 3 Elemente erhalte, da sich 2 zusammenfassen lassen...
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RE: Basis von Untervektorraum berechnen
OK. Was wäre dann eine mögliche Basis?
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Untervektorraum berechnen
e11=[latex]\begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 0   \end{pmatrix}  [/latex]

e12=[latex]\begin{pmatrix} 0 & 1  \\ 0 & 0   \end{pmatrix}  [/latex]

e21=[latex]\begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 1 & 0   \end{pmatrix}  [/latex]

e22=[latex]\begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 0 & 1   \end{pmatrix} [/latex]

sage ich

x1*e11+x2*e12+x3*e21+x4*e22 = 0v

muss x1=-x4 sein

damit Elemente der Basis:

b1=[latex]\begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & -1  \end{pmatrix}  [/latex]

b2=[latex]\begin{pmatrix} 0 & 1  \\ 0 & 0   \end{pmatrix}  [/latex]

b3=[latex]\begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 1 & 0   \end{pmatrix}  [/latex]


soweit darf ich das so machen?

naja da das nun die Basis ist, einfach skalare Vielfache und ich bin am Ziel...

müsste nur noch beweisen dass das eben die Basis ist oder?
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RE: Basis von Untervektorraum berechnen
Zitat:
Original von manuel459
soweit darf ich das so machen?

Ja.

Zitat:
Original von manuel459
müsste nur noch beweisen dass das eben die Basis ist oder?

Korrekt. smile
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Untervektorraum berechnen
blöde frage, aber wie beweise ich dass diese 3 Matrizen eine Basis sind?

mein Gedanke war diese bzgl. einer Basis, von der ich weiß dass sie eine ist als Koordinatenspalten darzustellen und dann mit Gaussverfahren zur stufenform zu bringen, um dan eindeutig sehen zu können ob es lin unab. und ein EZS ist..

anscheinend darf ich das aber nicht machen, da ich zuvor beweisen muss dass meine gewählte basis tatsächlich eine basis ist...

wie mache ich das?

lg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Untervektorraum berechnen
Nun ja, du mußt zeigen, daß die 3 Matrizen linear unabhängig sind und sich jedes Element der Menge A als Linearkombination aus den 3 Matrizen darstellen läßt.
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Untervektorraum berechnen
Das ist mir klar, nur wie konkret? Lineare unabhängigkeit durch probieren?

Sonst hätte ich gesagt stufenform aber geht hier ja schlecht :/
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Untervektorraum berechnen
Nun ja, was muß man denn prinzipiell (laut Definition) für lineare Unabhängigkeit zeigen?
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Untervektorraum berechnen
Naja dass halt nur 0 rauskommt wenn alle koordinaten ci 0 sind

Ich stelle mir das aber so vor dass das durch probieren nie 100% bewiesen ist da man ja vielleicht was übersehen könnte
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Untervektorraum berechnen
gibt es keinen der mir hier helfen könnte?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Untervektorraum berechnen
Zitat:
Original von manuel459
Naja dass halt nur 0 rauskommt wenn alle koordinaten ci 0 sind

Das kommt der Sache näher, aber das solltest du mal als konkrete Gleichung aufschreiben.
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Untervektorraum berechnen
alles klar,

ich tue mir hier schwer eine System Linearer Gleichungen aufzustellen, da es sich hier ja um Matrizen handelt. Mit Spalten geht das ja intuitiv...

muss ich hier jeweils die 1.1 Einträge aller Matrizen in eine Gleichung, dann alle 1.2 Einträge in eine Gleichung (natürlich mit den jeweiligen ci) einsetzen und dann lösen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von Untervektorraum berechnen
Es ist doch völlig wurscht, ob deine Basisvektoren Elemente des R³, Matrizen oder Funktionen sind. Entscheidend ist doch erst mal, daß du in der Lage bist, die zu untersuchende Gleichung formal mal hinzuschreiben:

[l]c_1 \cdot b_1 + c_2 \cdot b_2 + c_3 \cdot b_3 = 0[/l]

Jetzt kannst du für die b's die jeweiligen Matrizen schreiben und weitere Schlußfolgerungen ziehen.
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