Gruppe und Assoziativität

04.11.2016, 16:07

Marburger

Gruppe und Assoziativität

Meine Frage:
Hallo in die Runde. Ich sitze gerade an einer Aufgabe der Linearen Algebra. Gerade wurde die Einführung in die Vektorräume in der Vorlesung vorgenommen, dabei sind wir bis zur Definition von Ringen gekommen. Folgende Aufgabe bezieht sich allerdings auf Gruppen:

"Sei M := {1,...,n}. Wir wollen zeigen, dass (P(M); ?)eine Gruppe ist. Dabei bezeichnet ? die symmetrische Differenz von Mengen. Seien A,B,C ? P(M). [Anm: Mit P(M) ist die Potenzmenge von M gemeint]

Zeigen Sie A?B ? P(M) (Daraus folgt, dass es sich tatsächlich um eine Verknüpfung handelt)."

Meine Ideen:
In dieser Teilaufgabe ist die Frage nach der Verknüpfung gestellt. Laut Def. im Skript folgt aus ?a,b,c ? H: (a*b)*c = a*(b*c) (Assoziativität), dass es sich bei dem Paar (H,*) um eine Halbgruppe handelt, wobei * die Verknüpfung von H ist.

Übertragen auf die Aufgabe bedeutet das, dass das Paar (P(M),?) dann eine Verknüpfung ist, wenn

? A, B, C ? P(M): (A ? B) ? C = A ? (B ? C).

Ist es korrekt, die Übertragung eins zu eins durchzuführen? Ich habe bei der symmetrischen Differenz dreier Mengen nämlich folgendes Venn-Diagramm vor Augen und das scheint mir dann etwas Komplexer.

Ich habe dann gedanklich mit logischen Mengenoperationen herumgespielt, aber ich bin mir nicht sicher, in welche Richtung das gehen soll.

Danke schon einmal für jegliche Antwort und entschuldigung im Voraus, falls die Frage schon einmal gestellt worden ist.

Grüße

Marburger

Nachtrag: An Stelle der Fragezeichen steht ein griechisches Delta.

04.11.2016, 17:48

klarsoweit

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RE: Gruppe und Assoziativität
Bitte bringe den Text in eine lesbare Form. Danke.

04.11.2016, 17:49

Elvis

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Die symmetrische Differenz $\begin{eqnarray*} \Delta: P(M)\times P(M)\to P(M), (A,B)\mapsto A\Delta B:=(A\backslash B)\cup (B\backslash A) \end{eqnarray*}$ ist eine Verknüpfung auf $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ ganz einfach deshalb weil für Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auch die symmetrische Differerenz $\begin{eqnarray*} A\Delta B \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , also ein Element von $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ ist.

Die Assoziativität dieser Verknüpfung beweist man durch den Beweis der Mengengleichheit $\begin{eqnarray*} (A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C) \end{eqnarray*}$ . Da ist nichts komplex, das ist wie immer zu Beginn der Mengenlehre sehr einfach. Deine Skizze ist richtig.

04.11.2016, 20:54

Marburger

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Zitat:

Bitte bringe den Text in eine lesbare Form. Danke.

'Tschuldigung, habe das erst später gesehen und die Latex-Sache habe ich erst nach der Registrierung gesehen.

Zitat:

Die symmetrische Differenz $\begin{eqnarray*} \Delta: P(M)\times P(M)\to P(M), (A,B)\mapsto A\Delta B:=(A\backslash B)\cup (B\backslash A) \end{eqnarray*}$ ist eine Verknüpfung auf $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ ganz einfach deshalb weil für Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auch die symmetrische Differerenz $\begin{eqnarray*} A\Delta B \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , also ein Element von $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ ist. Die Assoziativität dieser Verknüpfung beweist man durch den Beweis der Mengengleichheit $\begin{eqnarray*} (A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C) \end{eqnarray*}$ . Da ist nichts komplex, das ist wie immer zu Beginn der Mengenlehre sehr einfach. Deine Skizze ist auf den ersten Blick falsch.

Danke für die Antwort. Was du oben beschreibst, hatte ich mir bereits in etwa so überlegt:

Da $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \in \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A \cup B \in \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} A \cap B \in A \cup B \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} A \triangle B \in \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt bin ich mir bzgl. der Aufgabenstellung nicht ganz sicher. Es steht ja Folgendes da:

Zitat:

"Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} A \triangle B \in \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$ (Daraus folgt, dass es sich tatsächlich um eine Verknüpfung handelt)."

Sollte ich jetzt nur beweisen oder herleiten, dass $\begin{eqnarray*} A \triangle B \in \mathcal P(M) \end{eqnarray*}$ gilt (dann habe ich es meiner Meinung nach oben bereits bewiesen). Aus diesem Beweis, so verstehe ich es, soll folgen, dass es sich tatsächlich um eine Verknüpfung handelt. Dann könnte ich mir den Beweis der Assoziativität über die Mengenoperation auch sparen.

04.11.2016, 21:33

Elvis

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Dein Beweis enthält Fehler, mein Beweis ist korrekt.
Wenn Du nicht sicher bist, wie die Aufgabe lautet, solltest Du schnell noch beweisen, dass dies eine abelsche Gruppe ist.

04.11.2016, 21:39

Marburger

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Entschuldige wenn die Frage blöd klingt, aber welcher Teil oben war denn ein Beweis für was?

04.11.2016, 21:52

Elvis

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Die symmetrische Differenz ist die Vereinigung von 2 Differenzen, also von 2 Teilmengen von M, also Teilmenge von M.

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