Äquivalenz von Injektivität, Surjektivität, Bijektivität bei Abbildung f : M -> M, wenn |M| endlich

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Michael.87 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Injektivität, Surjektivität, Bijektivität bei Abbildung f : M -> M, wenn |M| endlich
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe aktuell folgende Aufgabe zu lösen.

Es seien M eine endliche, nichtleere Menge und f : M -> M eine Abbildung. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. f ist injektiv,
2. f ist surjektiv,
3. f ist bijektiv.

Meine Ideen:
Mir ist bewusst, was diese Aussagen jeweils bedeuten und mir ist auch klar warum es bei der Abbildung M -> M so sein muss (wenn jedem Element aus M eines aus M zugeordnet wird, heißt das, dass bei Injektivität maximal eins zugeordnet wird. Daraus folgt, dass also auch mind. eins zugeordnet wird (Surjektivität). Und damit ist dann auch Bijektivität gegeben.)

Ich wollte also anfangen und 1. 2. beweisen, um am Ende einen Ringschluss zu konstruieren.

Annahme: f ist injektiv, d.h. gilt: Wenn f(m1) = f(m2), dann m1 = m2 (Def. Injektivität)

An dieser Stelle komme ich schon nicht weiter. Ich möchte ja irgendwie dazu kommen zu sagen, dass:

: f(m) = m (Def. Surjektivität, stimmt die?). Ich weiß aber nicht wie ich das formal beschreibe bzw. wie ich von meinem Ausgang der Injektivitätsannahme zur Surjektivität komme.

Könnt Ihr mir freundlicherweise helfen?

Vielen Dank
Michael
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. "surjektiv" hast Du falsch definiert.
2. Der Beweis funktioniert nicht durch Ringschluss injektiv -> surjektiv -> bijektiv -> injektiv. Der letzte Schritt ist trivial, aber wie soll surjektiv -> bijektiv bewiesen werden ? Das geht nur durch surjektiv -> injektiv.
3. Du musst also beweisen injektiv <-> surjektiv , oder was genau dasselbe besagt : injektiv -> surjektiv und surjektiv -> injektiv.
4. In Worten bist Du schon auf dem richtigen Weg, das musst Du nur noch mittels n=|M| in eine mathematische Form bringen.
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