Abbildung im R2

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Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung im R2
Meine Frage:
Ich bräuchte mal bitte nen Tipp für diese Aufgabe:

Für welche Zahlen
ist die Abbildung:



Injektiv, surjektiv, bijektiv?

Meine Ideen:
Für die Injektivität:
da muss ich ja zeigen, dass

Also muss ja

Und das heißt:




Irgendwie glaub ich, ich bin hier total aufm Holzweg...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung im R2
Zitat:
Original von Felix1109
Irgendwie glaub ich, ich bin hier total aufm Holzweg...

In der Tat. Lege erst mal sauber fest, was x_1 und x_2 sind. Wie sehen die aus, aus welcher Menge stammen die?
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist x1, x2 vielleicht:




?
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie siehts hiermit aus?
Wir haben zu zeigen, das aus





rechnen wir -b und teilen durch a erhalten wir:



rechnen wir -d und teilen durch c erhalten wir:




Folglich gilt die Injektivität für alle
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Warum hältst du dich nicht an die Bezeichnungen der Aufgabe? Natürlich hast du jederzeit das Recht, statt und statt zu sagen. Aber es besteht dafür ja keine Notwendigkeit. Und daß du es trotzdem tust, legt den Verdacht nahe, daß du gar nicht so richtig weißt, was du da tust. Kurzum - deine Ausführungen sind unverständlich.

Du mußt die abstrakten Bezeichnungen der Theorie ersetzen durch die Bezeichnungen in der aktuellen Situation. Das ist in der Mathematik eigentlich immer so. Zum Beispiel lernt man den Satz des Pythagoras oft in der Form . Aber ohne weiteren Kontext, sei es textuell oder zeichnerisch, bedeutet diese Gleichung gar nichts, schon gar nicht den Satz des Pythagoras. Steht jedoch bei der Gleichung eine Zeichnung mit einem rechtwinkligen Dreieck, bei dem als Katheten und und als Hypotenuse eingetragen sind, bekommt die Gleichung auf einmal den Sinn des Satzes des Pythagoras. Das ist die abstrakt gegebene Situation.
In einer neuen Situation nun sind die Bezeichnungen zu aktualisieren. Nimm etwa ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge und der Höhe . Auf das halbe Dreieck kann der Satz des Pythagoras angewandt werden. Dabei muß man jedoch Anpassungen vornehmen:



In der abstrakten Situation hat die Bedeutung einer Kathete, in der aktuellen Situation ist jedoch die Hypotenuse. Wenn man nun gleichzeitig in beiderlei Bedeutung verwendet, erzeugt man Chaos und mathematischen Unsinn.

Und ich glaube, das ist dein Problem. Ich weiß jetzt nicht, wie ihr das in der Vorlesung aufgeschrieben habt. Aber vielleicht folgendermaßen:

Eine Abbildung heißt injektiv, falls aus folgt:

Das ist die abstrakte Siutation. Nun mußt du in der Situation der Aufgabe überlegen: Wer nimmt jetzt die Rolle ein

(1) von ,
(2) von ,
(3) von ,
(4) von ,
(5) von ?

Und bevor das nicht geklärt ist, brauchst du gar nicht anzufangen, die Aufgabe zu lösen. Du wirst nur Unsinn verbreiten.

Darauf wollte klarsoweit in seinem Beitrag hinweisen. Ich habe das jetzt noch einmal in aller Ausführlichkeit dargelegt.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

(1) eindeutige Abb.
(2) Definitionsbereich
(3) Menge, mit Bildern
(4)
(5)
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

(4) und (5) stimmen nicht. Die Elemente von sind doch Paare reeller Zahlen, also etwa

(4)
(5)

bedeutet hier daher:

Ein Lösungsvorschlag. Ich würde in einen linearen Teil und eine Translation zerlegen, also zwei Abbildungen und durch



definieren, so daß jetzt gilt:



Eine der beiden Abbildungen ist unabhängig von der Wahl der Parameter immer bijektiv, so daß allein die andere bestimmt, ob injektiv, surjektiv, bijektiv ist.
Versuche, die Lösung durch Probieren und Nachdenken herauszufinden. Mach dich erst dann an einen Beweis.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde jetzt sagen, das immer bijektiv ist, da ich für jede Zahl immer irgendwie auf die Form komme.

Bei funktioniert das z.B. nicht wenn sind.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du es schon fast. Wir müssen nur noch ein paar Dinge präzisieren.

Zitat:
Original von Felix1109
Ich würde jetzt sagen, das immer bijektiv ist, da ich für jede Zahl immer irgendwie auf die Form komme.


Genau so ist das.
Rechnerisch steckt dahinter: Additionen können durch Subtraktionen rückgängig gemacht werden. Immer.
Geometrisch steckt dahinter: Eine Verschiebung kann durch die Gegenverschiebung (den Gegenvektor) rückgängig gemacht werden.

EDIT
Eigenschaften wie Injektivität, Surjektivität, Bijektivität kommen Abbildungen zu, nicht Termen. Du hättest daher präziser formuliert: ... daß die Abbildung bijektiv ist. Oder, da ich der Abbildung bereits einen Namen gegeben habe: ... daß die Abbildung bijektiv ist.


Zitat:
Original von Felix1109
Bei funktioniert das z.B. nicht wenn sind.


Genau das ist das Problem. Multiplikationen können fast immer rückgängig gemacht werden. Nur nicht die Multiplikation mit .

EDIT
Für eine präzise Formulierung gilt Ähnliches wie oben.


Zitat:
Original von Felix1109
wenn sind.


Das mußt du noch präzisieren: Was bedeutet das Komma? Das logische "und"? Das logische "oder"? Oder eine sonstige Aufzählung?

Wenn du dir alles noch einmal zurechtgelegt hast, dann formuliere sorgfältig (Quantoren, logische Bezüge etc.) die Antwort der Aufgabe. Versuche dich im nächsten Schritt am Beweis.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »



Injektivität:

bedeutet im Allg. das gilt besteht aus höchstens einem Element.

Dies ist für erfüllt, wenn und
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1109

Dies ist für erfüllt, wenn und


Das ist sinnfrei. Wenn ich sage, daß du auf die Quantoren achten sollst, meine ich natürlich nicht, daß du an irgendwelche Stellen Quantoren schreiben sollst. Das logische "und" verbindet Aussagen, aber doch nicht irgendwelche anderen Satzglieder. Solange du mit diesen Zeichen nicht umgehen kannst, laß sie weg.

Von vorne.

Durch werden viele Abbildungen definiert. Jedes Quadrupel definiert eine neue Abbildung. Man müßte also strenggenommen statt schreiben.

Abbildungen (und nicht Terme oder Zahlen oder sonstiges Zeug) sind injektiv, surjektiv, bijektiv - oder sie sind es nicht. Jetzt könnte es sein, daß gewisse dieser Funktion eine dieser Eigenschaften haben, andere nicht. Und du sollst jetzt die Funktionen nach diesen Eigenschaften herausfiltern. Ist zum Beispiel die Funktion injektiv oder ist sie es nicht? Auf diese Frage gibt es entweder die Antwort ja oder die Antwort nein. Andere Antworten sind denkunmöglich. Dieselbe Frage könnte man jetzt auch an die Funktion oder die Funktion oder Funktion stellen.

Da die die Funktionen festlegen, kann das Herausfiltern der Funktionen doch nur durch eine Aussage über geschehen:







Jetzt finde diese Aussagen. Und verzichte auf und andere komische Haken. Nimm deutsche Wörter der mathematischen Fachsprache wie "und", "oder" und so weiter.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Injektivität heißt doch z.B.

Also in meinem Fall

muss folgen, dass
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder lieber mal anders, Injektivität bedeutet doch das die Zielmenge nicht kleiner sein darf, als der Definitionsbereich oder?

d.h.


darf nicht weniger Elemente haben als

Demnach dürfte doch a und c jede reelle Zahl sein die nicht kleiner Eins oder gleich Null ist...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn Injektivität besteht, dann folgt die letzte Gleichung. Aber du sollst doch gerade die Frage untersuchen, ob diese Injektivität überhaupt besteht. Warum bestimmst du nicht einfach die fehlende Teile in den drei Aussagen meines vorigen Beitrags und beweist die Aussagen dann? Du warst doch schon einmal so nahe dran.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1109
darf nicht weniger Elemente haben als


ist ein Zahlenpaar! Wie kann ein Zahlenpaar Elemente haben! Mengen können Elemente haben. Vielleicht meinst du ja gar nicht das Zahlenpaar , sondern die Menge all dieser Zahlenpaare , also den .
Aber solche Mächtigkeitsuntersuchungen hinsichtlich Injektivität bringen dir bei unendlichen Mengen sowieso nichts.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

ist bijektiv, dann und nur dann, wenn

und

mit beliebigen und

...hab echt keinen Plan
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist der Satz. Jetzt fehlt noch der Beweis. Nehmen wir zunächst die Injektivität. Wir haben folgende Aussagen:



Und das wollen wir zeigen:



Wir müssen daher zwei Richtungen zeigen, einmal (1) und einmal (2) . Statt kann man auch gleichwertig zeigen. Das erscheint mir hier einfacher. Ich führe den Beweis für (1) einmal vor.

Wir setzen voraus (beachte die Regeln von de Morgan). Ich betrachte nur den Fall . Der Fall wird analog bewiesen. Die Abbildung lautet daher jetzt



Wir müssen auf hinarbeiten, also zeigen, daß nicht injektiv ist. Nun, das ist schnell gemacht. Wir brauchen ja nur ein Gegenbeispiel, das zeigt, daß die Injektivität verletzt ist. Dazu betrachten wir eins von "zehntausend":



Zwei verschiedene Urbilder, dasselbe Bild! Das war's schon. Die Injektivität ist verletzt. Damit ist gezeigt und somit (1) .

Jetzt versuche du dich mal an (2) . Hier ist ein direkter Beweis angebracht.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

(f ist Injektiv),




Wir setzen vorraus.

Folglich lautet die Abbildung:



Jetzt muss ich noch zeigen, das die Injektivität nicht verletzt ist.

Da muss ich jetzt zeigen, das aus

Also

Oder ich nehme ein Bsp.



Zwei verschiedene Bilder und zwei verschiedene Urbilder.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1109
Oder ich nehme ein Bsp.



Zwei verschiedene Bilder und zwei verschiedene Urbilder.


Das geht nicht. Du kannst eine Allaussage nicht durch ein Beispiel widerlegen.

Zitat:
Original von Felix1109
Da muss ich jetzt zeigen, das aus

Also


Das ist der richtige Ansatz. Hier mußt du weitermachen. Beachte: Zwei Paare und sind dann und nur dann gleich: , wenn sie in den beiden Koordinaten übereinstimmen, wenn also und gilt. In unserm Fall bekommst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen. Forme das im Hinblick auf das Ziel um.

Zitat:
Original von Felix1109
Da muss ich jetzt zeigen, das ...
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »



Also kann ich auch zeigen:
und

Das wäre dann wie folgt:
/-b, :a


und

/ -d, :c
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1109


Da fehlt ein "zu zeigen" oder ähnlich davor. Du kannst nicht einfach eine Formel hinwerfen, ohne sie durch Text in den logischen Zusammenhang des Beweises einzubetten. Sonst könnte jemand zum Beispiel meinen, das sei jetzt irgendwie gefolgert worden.



Zitat:
Original von Felix1109
Also kann ich auch zeigen:
und

Das wäre dann wie folgt:
/-b, :a


und

/ -d, :c


Und genau hier solltest du überlegen, ob du die Umformungen, die du so kühn vornimmst, überhaupt durchführen darfst. Du mußt jeden Schritt rechtfertigen. Das ist DAS ENTSCHEIDENDE. Da sehe ich keinerlei Kommentare von dir dazu. So ein Zeug rechnen kann ja jeder.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre es besser, wenn ich hingeschrieben hätte, das ich eine Äquivalenzumformung gemacht hätte und z.B. bei



auf beiden Seiten das b subtrahiert und durch a geteilt hätte, da ich ja zeigen will das die Komponenten und übereinstimmen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

(Er merkt es nicht.)
Das Teilen ist nicht nur die schwierigste Rechenart, sondern auch die problematischste.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach...Ok.
In meinem is ja nur die Multiplikation und Addition drinne.

Heißt das ich darf nur und rechnen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
sondern auch die problematischste.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

man darf nicht durch Null teilen, aber ICH darf hier teilen, weil vorgegeben ist ,

(.^_^.)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Gott! Es hat plumps gemacht! Der Felsen ist ins Wasser gestürzt und das Wasser spritzt ans Ufer.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Seit den letzten 4 Wochen (Studienbeginn) steh ich extrem hart aufm Schlauch Freude
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte es dir nicht verraten, deswegen habe ich so kryptisch gesprochen. Aber es wäre doch merkwürdig gewesen, wenn die Voraussetzung und beim Beweis keine Rolle spielte. Deswegen solltest du dies im Beweis an der Stelle erwähnen, wo es eingeht, wo du also durch diese Parameter dividierst.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Also hab ich jetzt schonmal bewiesen, das die Injektivität für alle gilt, wobei .

Jetzt muss ich den selben Spaß noch für Surjektivität und Bijektivität machen...
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Surjektivität:

Ich muss zeigen, das aus folgt


Surjektivität bedeutet, für alle , existiert ein sodass
Das heißt ich wähle mir ein beliebiges, aber festes x

in diesem Fall

Das heißt

Da vorgegeben ist, erhalten wir nach unserer Funktionsvorschrift.



sprich:

und dann halt noch die andere Richtung beweißen, und die Bijektivität ergibt sich daraus, das f inj. und surj. ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so nicht. Du mußt dir ein vorgeben und dazu ein bestimmen, also letztlich die Gleichung lösen. Du dagegen hast dir ein vorgegeben, damit berechnet und dann gezeigt, daß mit gilt: . Du drehst dich im Kreise. Mit dieser Argumentation wäre jede Abbildung der Welt surjektiv.

Gib dir also ein vor. Und bestimme jetzt dazu ein mit . Links kannst du die Abbildungsvorschrift anwenden. Dann wieder die Koordinaten vergleichen und nach auflösen. Und an der Stelle, wo die Voraussetzung ins Spiel kommt, das bitte wieder ausdrücklich kommentieren.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Man wähle ein beliebiges

Da zu zeigen ist, das surjektiv ist, muss es folglich ein passendes beschrieben durch geben.

Demnach gilt:



Man bemerke, das Division hier äqu. Umformung ist, da laut Vorraussetzung gilt.








Desweiteren ist:







Somit ist bewiesen, das es für jedes beliebige ein passendes gibt, beschrieben durch
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So könnte man das lassen. Noch ein stilistischer Verbesserungsvorschlag. Letzten Endes ist nicht wichtig, wie du auf das kommst. Entscheidend ist, daß es dieses gibt. Du könntest den Beweis daher so führen:

Zu wähle man . Wegen und ist wohldefiniert. Mit diesem gilt:

Das ist alles.
Jetzt noch die umgekehrte Richtung.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus folgt

Oder besser aus nicht A folgt nicht B.

Das heißt: und nach Vorraussetzung.

Zu jedem beliebigen muss es ein passendes geben, beschrieben durch .

Für bedeute dies: (man beachte Division ist hier keine äqu. Umformung)





Wegen und würde man für jedes auf die Form kommen.

Wodurch gilt:
ist nicht wohldefiniert, und nicht surjektiv.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1109
Aus folgt


Schon wieder dieses Komma. Du drückst dich damit um die korrekte logische Operation. Das kann man in einem lockeren Schreibstil machen, wenn man weiß, was man tut. Du aber weißt es nicht. Um es noch einmal zu sagen: es ist das logische "und".

Zitat:
Original von Felix1109
Oder besser aus nicht A folgt nicht B.

Das heißt: und nach Vorraussetzung.


Eben nicht. Beim Negieren wird aus einem "und" ein "oder" (Regeln von de Morgan). Schau, wie ich diese Klippe der doppelten Arbeit im entsprechenden Beweis bei der Injektivität umschifft habe. Fällt es dir auf?

Zitat:
Original von Felix1109
Zu jedem beliebigen muss es ein passendes geben, beschrieben durch .


Das ist dieses komische "muss es", das man immer wieder liest. Wenn man das als Teil des Beweises ansieht, ist das eindeutig falsch. So ist das aber vermutlich nicht gemeint. Vermutlich spricht hier der Schreibende, in diesem Fall also du, mit sich selber: "Also wenn f surjektiv wäre, dann müßte es so etwas geben ... Aber ich will ja zeigen, daß f gar nicht surjektiv ist, als darf es das gerade nicht geben. Dann mache ich mal im Beweis weiter ..."
Solche Kommentare, in denen der Beweisende mit sich selber spricht, haben im Beweis nichts verloren. Sie verunklaren die ganze Situation und führen bis zur Unverständlichkeit.

Zitat:
Original von Felix1109
Für bedeute dies: (man beachte Division ist hier keine äqu. Umformung)





Überflüssig.

Zitat:
Original von Felix1109
Wegen und würde man für jedes auf die Form kommen.


Bitte richtigstellen. Wegen des falschen "und" stimmt das nur teilweise. Und am Schluß muß es , nicht heißen.
Mach es dir am Ende nicht zu kompliziert. Du willst zeigen, daß nicht surjektiv ist. Es genügt daher, ein (eins genügt!) anzugeben, das durch nicht erreicht wird. Du rechnest hier die aus, die erreicht werden. Manipuliere ein bißchen an einem solchen herum, so daß du sicher bist, daß dieses nicht erreicht wird.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Vorraussetztung giltL ,

Wenn surjektiv wäre, müsste ein existieren, beschrieben durch

So auch für beliebig gewähltes

Also gilt.

Nach Vorr. ,




Demnach folgt, dass und damit existiert ein welches nicht erreicht wird, und daher ist nicht surjektiv.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix1109
Nach Vorraussetztung giltL ,


Als hätte ich in den Wind gesprochen ...
Nein, das ist nicht vorausgesetzt. Bitte lies meinen vorigen Beitrag und verarbeite ihn geistig.
Felix1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Vorraussetzung gilt oder
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich spreche ich mit Leuten, die Voraussetzung fortwährend mit zwei r schreiben, nicht. Aber weil du es bist ...

Jetzt mach weiter. Nimm eine der beiden Möglichkeiten, z.B. , und behandle diesen Fall. Den Fall mußt du dann ebenso behandeln oder darauf verweisen, daß er nach demselben Muster abgehandelt wird wie der Fall . (Letzteres darfst du natürlich nur tun, wenn du den Fall so klar darstellst, daß jeder halbwegs gebildete Mitteleuropäer weiß, wie er den Fall beweisen müßte, wenn er es denn nur wollte.)

Jetzt wird also vorausgesetzt, womit die Abbildungsvorschrift folgendermaßen lautet:



Wie man sieht, haben alle Bildelemente in der ersten Koordinate . Damit hast du die Nichtsurjektivität eigentlich schon bewiesen. Was mußt du nur noch erwähnen?
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