Injektiv und surjektiv (f: X --> X)

05.11.2016, 07:06	ShoppingQueen	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektiv und surjektiv (f: X --> X) Hallo, ich soll zeigen, dass für eine Abbildung f: X --> X (X ist eine endliche, nichtleere Menge) folgende Aussagen äquivalent sind: (a) f ist injektiv (b) f ist surjektiv (c) f ist bijektiv Mein Ansatz: (a) f ist injektiv bedeutet, dass jedem $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ höchstens einem Element in X (dem anderen X ^^) zugeordnet ist. (b) f ist surjektiv bedeutet, dass jedem $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ mindestens einem Element in X (dem linken X) zugeordnet ist. Mein Problem: Sei mal X = {1, 2, 3} und meine Relation sei {(1, 2)}, dann ist meine Relation ja injektiv, aber nicht surjektiv. Also kann ich die geforderte Äquivalenz ja gar nicht zeigen Wenn ich wüsste, dass meine Relation genauso viele Elemente hat wie mein X wäre das ja trivial, aber so.... kein Plan Was verstehe ich hier falsch? Danke schonmal ^^
05.11.2016, 09:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Abbildung (=Funktion) f muss zu jedem x im Definitionsbereich X genau ein f(x) im Wertebereich X enthalten. Eine Relation ist im allgemeinen keine Funktion, dein Beispiel ist keine Funktion, kann also nicht als Gegenbeispiel für die Behauptung dienen.
05.11.2016, 14:45	ShoppingQueen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo elvis, wenn ich z.B. eine Abbildung $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \mapsto 1/x \end{eqnarray}$ habe, dann enthält der Definitionsbereich (das linke) $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Dann kann ich aber die $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ auf kein Element im Wertebereich abbilden. Oder kann es sein, dass meine Abbildung oben schon falsch ist (habe es von der Tafel abgeschrieben ) und es eigentlich $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}\backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ heißen müsste? Bitte sage mir das 2. richtig ist, dann hat es wohl jetzt bei mir Klick gemacht. Danke
06.11.2016, 08:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine erste Frage bezog sich auf endliche Mengen. Für die sind injektiv und surjektiv äquivalent. Jetzt geht es um unendliche Mengen. Ja, der Definitionsbereich darf 0 nicht enthalten.
06.11.2016, 11:54	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
was genau ist jetzt Wertebereich bei dir ?
06.11.2016, 12:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} [ f: X\to Y, x\mapsto y=f(x) ] = (X,Y,graph(f)=\{(x,f(x)):x\in X\}\subseteq X\times Y) \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ der Definitionsbereich und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ der Wertebereich, davon zu unterscheiden ist das Bild der Funktion $\begin{eqnarray} f(X)=\{f(x) :x \in X\}\subseteq Y \end{eqnarray}$
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06.11.2016, 13:22	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
aha , im deutschen Sprachgebrauch also die Zielmenge. Eine Teilmenge davon ist die Wertemenge. offtopic. Im Kopf geht's wieder besser, nur Gehhilfen sind unabdingbar Gruß in's Flachland

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