Vollsystem 016 Lotto Gewinnchancen (nicht normales Lottosystem)

05.11.2016, 10:01

Ittum

Vollsystem 016 Lotto Gewinnchancen (nicht normales Lottosystem)

Guten Morgen,
und zwar beschäftigt mich momentan eine Aufgabe aus der Stochastik. Dazu erstmal der Hintergrund:
Bei dem Vollsystem 016 kreuzt man aus den $\begin{eqnarray*} 49 \end{eqnarray*}$ Zahlen $\begin{eqnarray*} 16 \end{eqnarray*}$ an und aus diesen werden alle $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ -elementigen Teilmengen als mögliche Lösungen gewertet.
Ich möchte nun die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass man $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ richtige tippt.
Meine Überlegung:
Im normalen Lotto hat man die Chance

$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49 \\ 6 \end{pmatrix}} = \frac{1}{13983816} \end{eqnarray*}$

um $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ richtige zu ziehen.
$\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ -elementige Teilmengen aus $\begin{eqnarray*} 16 \end{eqnarray*}$ Zahlen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \end{pmatrix} = 8008 \end{eqnarray*}$

Man spielt also quasi 8008 mal normales Lotto. (edit: <- hier ist wahrscheinlich der Fehler oder? Muss vermutlich hier noch irgendeine Einschränkung vornehmen, da man nicht beliebige Zahlen wieder nimmt, sondern nur aus den 16)
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ richtige aus $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Möglichkeiten und demnach

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 43 \\ 6-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Möglichkeiten nicht Gewinnzahlen zu tippen.

Insgesamt erhalte ich also die Wahrscheinlichkeit für k = 3:

$\begin{eqnarray*} \frac{8008*20*12431}{13983816} \end{eqnarray*}$ .

Dies ist leider größer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und kann somit nicht stimmen.

Wo liegt also mein Fehler?

Schonmal vielen Dank smile

05.11.2016, 10:15

HAL 9000

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RE: Vollsystem 016 Lotto Gewinnchancen (nicht normales Lottosystem)

Zitat:

Original von Ittum
Ich möchte nun die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass man $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ richtige tippt.

Du meinst, dass unter deinen 16 Zahlen 3 der 6 Gewinnzahlen sind? Und "genau 3" oder "mindestens 3" ?

05.11.2016, 10:20

Ittum

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Jede der Teilmengen wird wohl als Tipp gewertet und alle Tipps zusammen bilden den Systemtipp.
Ich möchte die Wahrscheinklichkeit des Ereignisses A bestimmen,wobei A das Ereigniss ist, dass der Systemtipp genau 3 richtige Lottozahlen enthält.

05.11.2016, 10:26

HAL 9000

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Die N=49 Zahlen unterteilen sich in M=6 Gewinnzahlen und N-M=43 andere. Bei deinem Modell ziehst du nun n=16 Zahlen und fragst nach der Wahrscheinlichkeit, dass darunter genau k=3 Gewinnzahlen sind.

Das ist das Hypergeometrische Modell, die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist $\begin{align*} \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} = \frac{\binom{6}{3}\binom{43}{13}}{\binom{49}{16}} \end{align*}$ .

05.11.2016, 11:04

Ittum

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Interessant das man die 8008, also den Binomialkoeffizienten von 16 über 6 dann gar nicht mehr braucht.
Aber scheint zu stimmen wenn ich mal mit den Lottoseiten un deren etwas gerundeten Wahrscheinlichkeiten vergleiche. smile

Vielen Dank smile

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