Dreieck: Nicht jede gerade Linie durch den Schwerpunkt ist eine Schwerlinie!

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Matthias314 Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieck: Nicht jede gerade Linie durch den Schwerpunkt ist eine Schwerlinie!
Meine Frage:
Bekanntermaßen treffen sich die drei Schwerlinien im Dreieck (die jeweils durch den Mittelpunkt einer Seite und den gegenüberliegenden Eckpunkt gehen) in einem speziellen Punkt, dem Schwerpunkt.
Jede dieser drei Schwerlinien teilt das Dreieck in zwei exakt flächengleiche Teile.

Ich dachte nun bisher immer, dass jede gerade Linie durch den Schwerpunkt ein Dreieck in zwei flächengleiche Teile zerlegt. Dem ist anscheinend aber nicht so!

Meine Ideen:
Ich habe dazu einfach irgendein Dreieck gezeichnet und den Schwerpunkt konstruiert. Dann habe ich, um mir das Leben einfach zu machen, eine zu einer der Dreiecksseiten parallele Linie durch den Schwerpunkt gezogen und die Länge dieser Seite als auch der Höhen abgemessen. Die Fläche auf der einen Seite des Schwerpunkts betrug jedoch jeweils ca. 4/9 (44,44% - auffällig) der Gesamtfläche und nicht etwa 1/2.

Könnt ihr das widerlegen oder bestätigen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, der Streckfaktor , mit dem das gesamte Dreieck auf das kleinere Dreieck, also das mit deiner Parallelen als Grundseite, zusammengezogen wird, ist , wie gerade der Schwerpunktsatz sagt. Also ist Fläche des kleineren Dreiecks mal so groß wie die des Ausgangsdreieck.
Matthias314 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, stimmt, das folgt aus diesem 2:1-Verhältnis, das sehe ich.

Komisch dass man dann manchmal die Aussage findet, jede gerade Linie durch das Dreieck wäre eine Schwerlinie. Sie kann ja offensichtlich nicht stimmen.

Ich finde zumindest keine andere schöne Aussage dazu, was man über die Schwerlinien sagen könnte. Es müsste sich ja irgendeine Gesetzmäßigkeit finden lassen...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matthias314

Komisch dass man dann manchmal die Aussage findet, jede gerade Linie durch das Dreieck wäre eine Schwerlinie. Sie kann ja offensichtlich nicht stimmen.


Erstaunt1
Bei einer Schwerelinie im Dreieck sind die Flächendrehmomente links und rechts im Betrag gleich, nicht die Flächen ! und diese Linie muss den Schwerpunkt enthalten.

deshalb stimmt der Satz schon.
Matthias314 Auf diesen Beitrag antworten »

oha, eine für mich neue erkenntnis!

ok, also schwerelinien durch einen eckpunkt haben links und rechts gleiche flächen und gleiche flächendrehmomente, schwerelinien die nicht durch einen eckpunkt gehen, haben links und rechts gleiche flächendrehmomente.

und alle diese schwerelinien gehen durch den schwerpunkt.
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