Symmetrische Gruppe, Ordnung und Permutation.

06.11.2016, 03:00	ziggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppe, Ordnung und Permutation. Meine Frage: Hallo, Ich brauche hilfe mit 2 Aufgaben : a) Sei $\begin{eqnarray} \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 6 & 1 & 7 & 8 & 5 & 3 & 2 \end{pmatrix} \in S_{8} \end{eqnarray}$ Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \pi ^{2} und \pi ^{3} \end{eqnarray}$ . Was ist die Ordnung von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ? Schreiben Sie $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ als Produkt von disjuntkten Zyklen und als Produkt von Transpositionen. Berechnen Sie sgn( $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ). b) Sei V={(1),(13),(24),(13),(24)} $\begin{eqnarray} \subseteq S_{4} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass V durch Komposition von Permutationen zu einer Gruppe wird, und stellen Sie die Gruppentafel aus. Ist V abelsch? Meine Ideen: Zu a) Ich habe keine ahnung wie ich pi hoch 2 (eigentlich habe ich gedacht, dass ich pi mit pi multiplizieren soll, also mit einander verknüpfen) rechnen soll oder was mit Ordnung gemeint ist. Ich habe gegoogelt bzw videos angeschaut aber nichts gefunden... Pi als Produkt von disjunkten Zyklen: Also hier hab ich pi = (1473)(2658) Pi als Produkt von Transpositionen (ich weiß nicht genau was das heißt aber habe etwas raus): pi = 1 zyklus (14)(47)(73)(31) 2 zyklus (26)(65)(58)(82) Für Signum habe ich auch nichts b) Ich weiß nicht wie ich zeigen soll, dass V durch kompositionen von Permutation zu eine Gruppe wird (Ich kenne die Gruppenaxiomen, ich weiß nicht nur wie ich auf die kompositionen anwenden soll)... Wenn ich verstanden habe, was ein Gruppentafel ist, dann sieht es bei mir so aus: V = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Auf Antworten wurde ich mich sehr freuen!
06.11.2016, 09:06	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Gruppe, Ordnung und Permutation. hallo, da kann ich dir helfen: Zunächst zu a) Mit $\begin{eqnarray} \pi^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi^3 \end{eqnarray}$ ist nichts anderes gemeint als $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ 2 bzw.3 mal anzuwenden. Bei $\begin{eqnarray} \pi^2 \end{eqnarray}$ bedeutet das, das die 1 auf die 4 und dann 4 auf 7 geht, das also insgesamt die 1 auf die 7 geht. Bei den anderen zahlen analog... Mit der ordnung ist gemeint, wie oft man $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ potenzieren muss, um die permutation $\begin{eqnarray} id \end{eqnarray}$ zu erhalten. Übrigens, bei b) meinst du wahrscheinlich V = {id, (13), (24), (13)(24)}, also 4 elemente, sonst gibt die aufgabe keinen sinn. Und das ganze sieht dann sehr nach der kleinschen vierergruppe aus gruss ollie3
06.11.2016, 11:36	ziggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische Gruppe, Ordnung und Permutation. Danke für deine Hilfe

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