Mittlere Restlebensdauer

06.11.2016, 10:25	BestWest	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittlere Restlebensdauer Meine Frage: Es sei für eine zufällige Lebensdauer $\begin{eqnarray} X \geq 0 \end{eqnarray}$ mit endlichem Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu_{X}(t)=E[X-t\|X>t], t>0 \end{eqnarray}$ , die mittlere Restlebensdauer zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} a) \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} \mu_{X}(t)=\int_{t}^{\infty} \! \frac{\overline{F}_{X}(y)}{\overline{F}_{X}(t)}\, dx , t>0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \overline{F}_{X}(t)=1-F_{X}(t)=P(X>t) \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} b) \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} X \geq 0 \end{eqnarray}$ eine Lebensdauerverteilung mit stetiger Verteilung und Ausfallrate $\begin{eqnarray} h_{X}(t)=\frac{f_{X}(t)}{\overline{F}_{X}(t)}, t \geq 0 \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \lim_{t \to \infty} \mu_{X}(t)= \infty \Rightarrow h_{X}(t)= 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c) \end{eqnarray}$ Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \mu_{X}(t) \end{eqnarray}$ für folgende Verteilungen: i) Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ ii) Exponentialverteilung mit Parameter $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ iii) Pareto-Verteilung mit Parameter $\begin{eqnarray} \alpha, \gamma \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zu a) $\begin{eqnarray} \mu_{X}(t)=E[X-t\|X>t]=\frac{1}{\overline{F}_{X}(t)}\int_{t}^{\infty} \! (x-t) \, d\lambda (x)=\frac{1}{\overline{F}_{X}(t)}\int_{t}^{\infty} \! \int_{t}^{x} \! \, dy \, d\lambda (x)=\frac{1}{\overline{F}_{X}(t)}\int_{t}^{\infty} \! \int_{y}^{\infty} \! \, d\lambda (x) \, dy=\frac{1}{\overline{F}_{X}(t)}\int_{t}^{\infty} \! \overline{F}_{X}(t) \, dy=\int_{t}^{\infty} \! \frac{\overline{F}_{X}(y)}{\overline{F}_{X}(t)} \, dy \end{eqnarray}$ Zu c) i) $\begin{eqnarray} =\frac{1-t}{2} \end{eqnarray}$ ii) $\begin{eqnarray} =\frac{1}{\alpha} \end{eqnarray}$ iii) $\begin{eqnarray} =\frac{t}{1-\alpha} \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig? Bei b) komme ich leider nicht wirklich zu einem Ergebnis. Kann mir da vielleicht wer helfen? LG
07.11.2016, 15:35	BestWest	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat niemand eine Idee bei der b)?

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