Extremalprobleme |
| 06.11.2016, 14:19 | Meyne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremalprobleme Einem Gärtner stehen Umrandungssteine für eine Strecke von 10m zur Verfügung. Er möchte damit ein kreisförmiges und ein quadratisches Tulpenbeet abgrenzen. Welche Maße r und x sollen diese Beete erhalten, wenn die Gesamtfläche und damit der Pflanzenbedarf möglichst klein ausfallen soll? Meine Ideen: Mein Ansatz: Hauptbedingung: A(r,a)= ?*r^2+a^2 Nebenbedingung: 10=2*?*r+4*a Zielfunktion: (10-4*a/2?) = r A(x) = ?*(10-4*a/2?)2+x2 A(x) = ?*1002-80a+16a2/ (4*?)2 + x2 Wie muss ich nun vorgehen? |
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| 06.11.2016, 14:21 | Meyne | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das fragezeichen soll für pi stehen. |
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| 06.11.2016, 15:16 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremalprobleme
Ich hätte in der obigen Gleichung (in der die Klammer falsch sitzt) schon mal vereinfacht zu: Dann wird die HB auch einfacher: Diese Funktionsgleichung muss nach a abgeleitet werden; dies ist einfacher, wenn man vorher ausmultipliziert (wie du es getan hast, nur leider ist deine Gleichung kaum noch zu entziffern) und den Bruch auseinanderzieht. Versuche es mal. 
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| 06.11.2016, 15:33 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich das dann kürze, habe ich doch A(a)= pi* (5-2*a/pi)^2 +a^2 pi kann ich wegkürzen, so bleibt mir (5-2*a)^2+a^2 Und nun? 25-20a-4a / pi + a^2 So etwa? |
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| 06.11.2016, 15:38 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das pi kannst du nicht ganz wegkürzen, da es auch in der Klammer steht und somit quadriert wird. Es bleibt auf jeden Fall ein Bruch mit pi im Nenner. Im Zähler hast du das Binom, das ich ausmutiplizieren würde, das hast du ja auch in deinem ersten Beitrag so gemacht. Du erhältst einen Bruch, den ich auseinanderziehen würde, dann sind das Ableiten und das nachfolgende Umstellen der Gleichung (nach dem die Ableitung = 0 gesetzt wurde) einfacher.
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| 06.11.2016, 15:41 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hier kam erst an, als ich meinen Beitrag schon fertig hatte:
Schon besser, aber die fehlende Klammer ist nicht gut. So sollte es richtig heißen: A(a) = (25-20a-4a^2)/ pi + a^2 Wie gesagt: Ziehe nun den Bruch auseinander, teile also jeden einzelnen Term durch pi, dann kannst du ableiten.
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| 06.11.2016, 15:42 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre das dann so korrekt? A(a)= (5-2*a/pi)^2 +a^2 A(a) = 25-20a-4a / pi + a^2 ? |
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| 06.11.2016, 15:46 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis auf die fehlende Klammer in der unteren Gleichung (edit: ... und bis auf das fehlende ²) stimmt es jetzt.
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| 06.11.2016, 15:48 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe es nun so gemacht. A(x) (25/ pi) - (20a/pi) - (4a/pi) +a^2 A(x)=7,95-6,37a-1,27a+a^2 A(x)= a^2-7,64a-7,95 Ist das richtig? 
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| 06.11.2016, 15:58 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe übersehen, dass ein ² fehlt, dies ist die korrekte Gleichung: A(a) = (25-20a-4a²) / pi + a² Wenn man den Bruch auseinanderzieht, erhält man: A(a) = (25/ pi) - (20a/pi) + (4a²/pi) +a² Etwas eleganter ist es, wenn man die Variable vom Bruch wegzieht: Ich würde an dieser Stelle nichts ausrechnen, das gibt nur Rundungsfehler und wird auch nicht einfacher. Du kannst jetzt einfach ableiten.
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| 06.11.2016, 15:59 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
warum kommt da ein ^2 hin? Ich habe doch b^2 bereits gerechnet, also 2^2 |
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| 06.11.2016, 16:00 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das b entspricht den 2a und (2a)² = 4a²
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| 06.11.2016, 16:03 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hätte jetzt gedacht 2^2 und das a drangehangen. |
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| 06.11.2016, 16:06 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, da muss jeder Bestandteil des Terms quadriert werden. Wenn du diesen Ausdruck hast: (3abc + 5def)², dann erhältst du: 9a²b²c² + 30abcdef + 25d²e²f²
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| 06.11.2016, 16:09 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, ok. Wie leite ich zB einen Bruch ab? Ich hatte sowas nie abgesehen von 25/x^3 wäre zB 25*x^-3. Aber ich hatte nie etwas mit pi Wäre das dann 25*pi^-1 ? |
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| 06.11.2016, 16:17 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Würde die Ableitung so lauten: Ich schreibe es erst um: 25*pi^-1 -20pi^-1+4*pi^-1*a^2+a^2 Also A= 25*pi^-2-20pi^-2+4*pi^-2*a^2+a^2 |
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| 06.11.2016, 16:17 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
edit: Zitat eingefügt, weil ich mit darauf beziehe:
Deine Darstellung stimmt im Prinzip, man kann 25/pi als 25*pi^-1 schreiben. Das ist jedoch gar nicht notwendig, weil pi doch einfach eine Zahl ist und nicht die Variable, nach der abgeleitet wird. 
Das Praktische an der Schreibweise mit der weggezogenen Variablen ist, dass du dich nur um die Variable kümmern musst. Dass ein Bruch davor steht, ist vollkommen egal, weil im Bruch keine Variable vorkommt. Du brauchst also nur a bzw. a² ableiten, nach den gelernten Regeln. Wenn du die Variable (auch) im Nenner hast, kannst du natürlich den von dir beschriebenen Weg gehen oder mit der Quotientenregel arbeiten.
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| 06.11.2016, 16:22 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also... A'(a)= 25/pi -20/pi + 8/pi a + 2a ? Wenn es stimmt, rechne ich schnell das Ganze aus und teile dir das Ergebnis mit. (Natürlich noch mit A''(x). |
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| 06.11.2016, 16:26 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein paar Fehler gibt es noch...
Die 25/pi fallen weg und bei den 4/pi a musst du noch mit 2 multiplizieren, jeweils nach der Regel:
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| 06.11.2016, 16:26 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum müssen die 25/pi wegfallen? dann müsste ja -20/pi auch wegfallen. |
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| 06.11.2016, 16:42 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe jetzt nochmal alles aufgeschrieben A'(x)= -20/pi -8/pi x -2x A''(x)=- 8/pi -2 Aber wie löse ich die 1.Ableitung?
Ich kann ja hier schlecht die pq Formel oder sonstiges anwenden. |
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| 06.11.2016, 16:47 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt hatte ich eine Weile an einer Erklärung rumgebastelt, aber umso besser, wenn sie nicht gebraucht wird. Es sind eh nur die Grundlagen, die auch in deinem Buch stehen.
Gut, du bist jetzt von a auf x als Variable geschwenkt, von mir aus. Die Minusse sind jedoch nicht alle richtig. So stimmt es: A'(x)= -20/pi + 8/pi x + 2x Jetzt setzt du A'(x) = 0 und erhältst: 0 = -20/pi + 8/pi x + 2x Diese Gleichung wird nun nach x aufgelöst. Bringe dazu erst mal die -20/pi auf die andere Seite. |
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| 06.11.2016, 16:55 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So: 0=-20/pi+8/pi x +2x -20/pi = 8/pi x +2*x -20/pi= x (8/pi+2) -20/pi / (8/pi+2) = x Und nun? |
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| 06.11.2016, 16:58 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
0=-20/pi+8/pi x +2x | + 20/pi
20/pi = 8/pi x +2*x Und somit: (20/pi) / (8/pi+2) = x Das kannst du in den TR eingeben und x ausrechnen.
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| 06.11.2016, 17:03 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das sind x=4,40 |
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| 06.11.2016, 17:05 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jetzt muss ich doch nur noch x=4,40 in die Nebenbedingung 5-2x/pi einsetzen und den Wert für r zu erhalten. Die zweite Ableitung ist nicht nötig oder? |
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| 06.11.2016, 17:06 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das ist nicht richtig. Wie hast du das in den TR eingegeben? 
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| 06.11.2016, 17:07 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da kommt 1,40 raus. |
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| 06.11.2016, 17:10 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt. 
Jetzt kannst du in der Tat r ausrechnen. Die zweite Ableitung kannst du nutzen um nachzuweisen, dass dein ermittelter Extremwert tatsächlich ein Minimum und kein Maximum ist. Die zweite Ableitung war übrigens nicht ganz richtig (Vorzeichen...)
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| 06.11.2016, 17:12 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das mit den Vorzeichen war bei mir so ein Fehler... Ich habe jetzt aber alles korrigiert. Die hinreich. Bed könnte ich eig weglassen, weil ich nur einen Wert habe, der ein Min. sein muss oder nicht? |
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| 06.11.2016, 17:15 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
& kommt bei r=0,7m raus? |
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| 06.11.2016, 17:19 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
A''(x) = 8/pi + 2, das ist größer als Null und dein Ergebnis auf jeden Fall ein Minumum, da keine Variable mehr vorkommt.
Der Radius kann nicht 4 m sein, der Umfang der Kreisfläche wäre dann viel zu groß.
edit: Ja, 0,7 m ist der richtig Wert für den Radius.
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| 06.11.2016, 17:23 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke Dir. Was meinst Du mit der Umfang der Kreisfläche wäre zu groß? 2*pi*0,7= 4,3 LE? |
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| 06.11.2016, 17:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das bezog sich auf dein inzwischen korrigiertes Ergebnis r = 4 m
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| 06.11.2016, 17:26 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
& wenn ich jetzt zB nach a statt r umgeformt hätte bei der Nebenbedingung hätte das dann so ausgesehen? 10=2*pi*r+4*a 10-2*pi*r=4a 10-2*pi*r/4 = a So? |
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| 06.11.2016, 17:30 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieder fehlen die Klammern: (10-2*pi*r)/4 = a Ich hätte noch gekürzt: 2,5 - 0,5·pi·r = a
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| 06.11.2016, 17:32 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt. Bin dir überaus dankbar für deine Hilfe & hätte ich das auf die Kommazahlen überhaupt kürzen dürfen? |
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| 06.11.2016, 17:36 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In diesem Fall macht es schon Sinn, denn es muss ja nicht gerundet werden, es schleicht sich also kein Rundungsfehler ein.
Das pi hingegen sollte man lieber mitschleppen und nicht durch eine Zahl ersetzen bzw. einen Bruch mit pi im Nenner oder Zähler erst ganz am Ende ausrechnen. |
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| 06.11.2016, 17:37 | Mathemato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke dir! Ich habe nun das Konzept verstanden.
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| 06.11.2016, 17:40 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Freut mich, gern geschehen.
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