Verknüpfungstafel für Gruppe |
| 06.11.2016, 19:54 | Seashell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Verknüpfungstafel für Gruppe Hallo liebes Mathe-Board Team 
Ich habe eine Aufgabe in "Linearer Algebra" bekommen, bei deren Lösung ich mir nicht so sicher bin. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt: Gegeben sei eine vierelementrige Menge G={e,a,b,c}. Definieren Sie eine Abbildung °:G x G --> G, so dass (G,°)eine Gruppe mit e als neutralem Element ist, indem Sie folgende Tabelle ausfüllen. Darf eine Element in einer Zeile/Spalte mehrfach auftauchen? ° e a b c e a b b c Vorgegeben ist also schon, dass a°a=b ist. Meine Ideen: Ich wusste jetz nicht so genau wie ich das Ganze lösen soll, da wir sowas in der VL oder Übung noch nicht gemacht haben. Meine fertige Tabelle sieht so aus: ° e a b c e e a b c a a b e e b b e c e c c e e a Das Ganze habe ich dann begründet, in dem ich die Eigenschaften für eine Gruppe für mich passend definiert habe (grob aufgeschrieben, sicher noch nicht mathematisch korrekt): Das Assoziativgesetz gilt: (a°b)°c=a°(b°c) Die Existenz eines neutralen Element e und dass es linksmonoid ist. Das Kommutativgesetz , womit das neutrale Element dann auch rechtsmonoid ist. Die Existenz eines Inversen: b°a=e, c°b=e a°c=e (Hier war ich mir sehr unsicher) Dazu würde ich am Ende noch für alle Vorschriften die Beweise führen. Dann wäre die Begründung für die Zeile von a grob: a°e= a wegen Existenz eines Inversen und Kommutativität a°a = b ( War ja so vorgegeben) a°b = e ( Wegen Existenz eines Inveresen und Kommutativität) a°c = e (Wegen Existenz eines Inversen und Kommutativität) Somit können dann auch die selben Elemente mehrmals vorkommen. Für mich fühlt sich das irgendwie nicht ganz richtig an und ehrlich gesagt bin ich mir immer noch nicht sicher, ob man die Aufgabe überhaupt so löst? Über Hilfe würde ich mich wirklich sehr freuen! Ich werde mich jetzt erstmal hier anmelden und selber versuchen zu helfen, da die Community wirklich wunderbar ist
lg Seashell |
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| 06.11.2016, 20:15 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Verknüpfungstafel für Gruppe Mal ein Hinweis: Fasse dich bitte kürzer und verwende Latex oder den Formeleditor. Mit Latex lassen sich auch Tabellen darstellen. Deine Tabelle könnte am Anfang folgendermaßen aussehen: Zu deiner Idee (hab nicht alles gelesen): In einer Gruppentafel muss jedes Gruppenelement in jeder Zeile und Spalte genau einmal vorkommen. Wie beim Sudoku. Deine Tafel kann also gar nicht stimmen. Man kann die Aufgabe so lösen, dass man bei der Ausgangstabelle anfängt und dann über die Sudoku-Regel sukzessive alle Elemente in die Gruppentafel einträgt. (Tipp: In diesem Fall ist durch die Vorgabe die Gruppentafel eindeutig bestimmt.) |
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| 07.11.2016, 21:23 | Seashell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Verknüpfungstafel für Gruppe
Vielen Dank für die Antwort. Dann weis ich ja, dass in der ersten Spalte a stehen muss, aber wie ich ich die anderen beiden herausbekomme ist mir nicht klar. entweder ist die Zeile a b e c oder a b c e. Aber wie kann ich das mathematisch schön begründen? Muss ich das definieren oder wie geht man da genau vor? |
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| 07.11.2016, 21:33 | Seashell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Verknüpfungstafel für Gruppe Ah ich habe es verstanden!!! Also die Tabelle muss so aussehen: ° e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b richtig?
Das liegt daran, dass eine Gruppe eindeutig sein muss! Nun weis ich aber leider immer noch nicht, wie ich beispielsweise die Zeile von a mathematisch begründe?
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| 07.11.2016, 22:21 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Verknüpfungstafel für Gruppe Du hättest doch meinen Latex-Code als Template benutzen können. Also deine Gruppentafel nochmal in besserem Layout: Die Tafel ist jetzt richtig. Ich denke nicht, dass im jetzigen Stadium schon eine mathematische Begründung von euch gefordert wird. Eine Begründung ginge folgendermaßen (falls du mit den Begriffen noch nichts anfangen kannst, nimm's leicht): Aus dem Satz von Lagrange folgt, dass die Ordnung eines Gruppenelements die Gruppenordnung teilen muss. Die Ordnung der Gruppe ist 4. Also muss die Ordnung von echter Teiler von 4 sein, d.h. . Da nun aber schon , bleibt nur . Da muss gelten. Die Gruppe ist also zyklisch und ein erzeugendes Element, d.h. jedes Gruppenelement ist eine Potenz von . Damit ist die Gruppentafel vollständig bestimmt. Nicht jedes Element der Gruppe ist ein erzeugendes Element. Natürlich kann nie das neutrale Element die Gruppe erzeugen. Aber ebenfalls nicht, da die Ordnung 2 hat. Die Elemente und sind also keine Potenzen von . Dass ein Element ausreicht, die Gruppe zu erzeugen, gilt nur für zyklische Gruppen. Gewöhnlicherweise benötigt man dafür mehr als ein Element. |
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| 09.11.2016, 20:33 | Seashell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen vielen Dank! |
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| 09.11.2016, 22:40 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte sehr! Ich helfe gerne, wenn ich merke, dass sich jemand Mühe gibt. |
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