Relationen visualisieren

07.11.2016, 14:04

Hunter184

Relationen visualisieren

Meine Frage:
Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen? Visualisieren Sie die Relationen geeignet (Kreuztabelle, Koordinatensystem, ...).
(a) $\begin{eqnarray*} A = \mathbb R^{2} , R = \left\{ ((a,b), (c,d)) \in \mathbb R^{2}x\mathbb R^{2}|a-c = b-d\right\}. \end{eqnarray*}$ .

(b) $\begin{eqnarray*} A = \mathbb R^{2} , R = \left\{ ((a,b), (c,d)) \in \mathbb R^{2}x\mathbb R^{2}|(a\leq c) \wedge (b\leq d)\right\}. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
(a) ich denke die Relation ist reflexiv, aber nicht symmetrisch, somit muss ich transitiv nicht mehr prüfen, da es ohnehin keine Äquivalenzrelation mehr sein kann. Ich tue mir hier jedoch schwer das ganze zu veranschaulichen. Hat jemand einen Hinweis für mich?
(b) auch hier würde ich von reflexiv, aber nicht symmetrisch ausgehen. Ebenfalls bin ich mir nicht sicher, wie das zu veranschaulichen ist. Ist das nicht einfach die Fläche rechts von dem Punkt? Diese Aussage ist jedoch nicht sehr mathematisch.

Danke für Eure Hilfe

07.11.2016, 14:39

RavenOnJ

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RE: Relationen visualisieren
Zu a): Die Relation ist sehr wohl symmetrisch und auch transitiv. Zur Visualisierung lassen sich die äquivalenten Punkte durch Geraden verbinden. Du siehst vermutlich, dass alle Punkte (x,y) mit derselben Differenz y-x äquivalent sind.

Zu b) Reflexiv: ja, symmetrisch: nein, wie du schon richtig erkannt hast. Und transitiv. Es ist die Fläche rechts und gleichzeitig oberhalb des Punktes inklusive der Begrenzungshalbgeraden. Sozusagen der 1. Quadrant um den „Vektor” des Punktes verschoben.

07.11.2016, 21:24

Hunter184

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RE: Relationen visualisieren
danke für deine Antwort!
Die Erläuterungen zu b sind mir nun klar, bei a stehe ich aber noch ein wenig auf dem Schlauch.

$\begin{eqnarray*} \left(a,b\right) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} \left(c,d\right) = \left(c,d\right) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} \left(a,b\right) \end{eqnarray*}$

Das wäre ja dann a - c = b- d <=> c - a = d - b
Rechts vom Äquivalentzeichen habe ich jedoch die Vorzeichen genau verkehrt herum. Kann ich hier einfach mit den rechten Teil mit -1 multiplizieren??

Und ich verstehe gerade nicht welche Punkte ich miteinander verbinden müsste? Angenommen (a,b) = (3,0) oder (a,b) = (3,1) dann wären die entsprechenden (c,d) = (5,2) oder (5,3). Also nur als Beispiel wenn man von einer Differenz von 2 ausgehen würde.
Würdest du dann die beiden (a,b) miteinander verbinden und die beiden (c,d) oder hast du das anders gemeint?

08.11.2016, 02:35

RavenOnJ

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RE: Relationen visualisieren

Zitat:

Original von Hunter184
danke für deine Antwort!
Die Erläuterungen zu b sind mir nun klar, bei a stehe ich aber noch ein wenig auf dem Schlauch.

$\begin{eqnarray*} \left(a,b\right) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} \left(c,d\right) = \left(c,d\right) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} \left(a,b\right) \end{eqnarray*}$

Das wäre ja dann a - c = b- d <=> c - a = d - b
Rechts vom Äquivalentzeichen habe ich jedoch die Vorzeichen genau verkehrt herum. Kann ich hier einfach mit den rechten Teil mit -1 multiplizieren??

Das ist grundlegende Arithmetik, eigentlich auf Grundschulniveau. Natürlich kann man eine Gleichung mit einer Konstanten multiplizieren und natürlich kann die Konstante auch negativ sein.

„Äquivalenz” wird übrigens ohne t geschrieben.

Zitat:

Und ich verstehe gerade nicht welche Punkte ich miteinander verbinden müsste? Angenommen (a,b) = (3,0) oder (a,b) = (3,1) dann wären die entsprechenden (c,d) = (5,2) oder (5,3). Also nur als Beispiel wenn man von einer Differenz von 2 ausgehen würde.
Würdest du dann die beiden (a,b) miteinander verbinden und die beiden (c,d) oder hast du das anders gemeint?

Es ging doch darum, die Äquivalenzklassen zu visualisieren. Die Idee war, die äquivalenten Punkte zu verbinden, d.h. die Tupel (x,y), bei denen die Differenz y-x dieselbe ist. Denn die sind zueinander äquivalent, wie du leicht prüfen kannst. (3,0) und (5,2) sind also in derselben Äquivalenzklasse, sowie alle anderen Punkte $\begin{align*} \{(x,y)\in\mathbb R^2|y-x= -3\} \end{align*}$ . Diese liegen auf einer Geraden parallel zur Geraden y=x.

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