Vektoren zu Basis ergänzen

08.11.2016, 12:01

balance

Vektoren zu Basis ergänzen

Hallo,

Mir geht es hier vorallem darum, wie "Prüfungskonform" meine Lösung ist und ob ich das irgendwie besser machen kann.

Aufgabe:

Gegeben seien zwei lienare Abbldungen

$\begin{eqnarray*} \varphi(x)=x_1+3x_2-7x_3-2x_4+5x_5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \nu(x)=x_2-2x_3-x_4+2x_5 \end{eqnarray*}$

von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der Unterraum $\begin{eqnarray*} V=\{x\in\mathbb R^5 | x\in ker \varphi \cap ker \nu\} \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} v_1=(1,1,1,1,1), v_2=(1,-2,0,0,1) \end{eqnarray*}$ in V liegen.
b) Ergänzen sie $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$

Lösung:

a) Es gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x \in V : \varphi(x)=\nu(x)=0 \end{eqnarray*}$

Wir prüfen also nach, ob die beiden Abbildungen die beiden Vektoren auf 0 abbilden:
$\begin{eqnarray*} \varphi(v_1)=1+3-7-2+5=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi(v_2)=1-6+5=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \nu(v_1)=1-2-1+2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \nu(v_2)=-2+2=0 \end{eqnarray*}$

Das tun sie. Also liegen beide v in V.

b)
Wir sehen sofort dass die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \end{eqnarray*}$ lin. unabh. sind. Man betrachte dazu die 3. und 4. Komponente, dort ist es offensichtlich. Wir müssen nun die Dimension von V finden.

Frage 1: Ich habe zwar keine Probleme - denke ich - die Dimension von V zu finden, jedoch denke ich dass ich das irgendwie schneller und einfacher finden könnte.

Ich mach das wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&3&-7&-2&5\\0&1&-2&-1&2\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1&0&-1&1&-1\\0&1&-2&-1&2\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe also sozusagen mit drei Nullvektoren "erweiter". [Ich weis nicht wie ich das besser ausdrücken soll]

Setzte $\begin{eqnarray*} x_3=s, x_4=t, x_5=k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s,t,k\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Wir bekommen:

$\begin{eqnarray*} x_1= s+ k -t, \quad x_2=2s-2k+t \end{eqnarray*}$

Somit: $\begin{eqnarray*} V=\{ s(1,2,1,0,0) + t(-1,1,0,1,0) + k(1,-2,0,0,1) | s,k,t\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Wir sehen sofort: $\begin{eqnarray*} dim(V)=3 \end{eqnarray*}$

Somit müssen wir mit einem Vektor ergänzen. Wir wählen $\begin{eqnarray*} v_3^{'} = (1,2,1,0,0) \end{eqnarray*}$ .

Dieser liegt in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \varphi(v_3^{'})=\nu(v_3^{'})=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Wir prüfen, ob $\begin{eqnarray*} B=\{v_1,v_2,v_3^{'}\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist. Bekannt ist, dass die ersten zwei nicht linear abhängen.

Wir prüfen: $\begin{eqnarray*} n\cdot v_1 + m\cdot v_2 = v_3^{'} \end{eqnarray*}$

Wir betrachten die 2. Komponente: $\begin{eqnarray*} n-2m=2 \quad \Rightarrow \quad n=4, m=1 \end{eqnarray*}$

Somit sollte gelten: $\begin{eqnarray*} 4\cdot v_1 + 1\cdot v_2 = v_3^{'} \end{eqnarray*}$

Dies ist ofefnsichtlich nicht der Fall. Somit ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine linear unabhängige Menge und somit unsere Basis.

08.11.2016, 12:58

Elvis

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Ich kapiere nicht, was da vor sich geht. Wegen $\begin{eqnarray*} v_3\in ker(\nu) \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} v_3\notin ker(\varphi) \end{eqnarray*}$ ist doch schon $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ undefiniert, mal abgesehen davon, dass die Schreibweise nicht klar macht, was hier überhaupt definiert werden und was behauptet werden soll. Bitte mehr auf korrekte Schreibweise und exakte Durchführung achten, sonst ist das nichts wert.
Auch die Sprechweise ist schlampig. Ein Vektor ist immer linear abhängig, also kann $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ nicht linear unabhängig sein, also sieht man das nicht und schon gar nicht sofort. Bist Du sicher, dass Du sagen möchtest, eine Determinante sei invertierbar ? Das ist lustigerweise richtig, aber doch eine sehr ungewöhnliche Ausdrucksweise.

08.11.2016, 13:16

klarsoweit

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RE: Vektoren zu Basis ergänzen

Zitat:

Original von balance
Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der Unterraum $\begin{eqnarray*} V=\{x\in\mathbb R^5 | x\in ker \varphi \subset ker \nu \end{eqnarray*}$

Ggf. könnte hier auch sowas gemeint sein: $\begin{eqnarray*} V = \{x \in \mathbb R^5 ~|~ x \in ker( \varphi) \land x \in ker(\nu) \} \end{eqnarray*}$

08.11.2016, 13:57

balance

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Ich war/bin relativ unfit heute. Daher die ganzen Fehler. :O Tut mir Leid. Eigentlich versuche ich gute Posts zu formulieren. Klapt wohl nicht immer. :/

Ich habe den Eingangspost editiert. Ich hoffe, so ist es klarer.

Und der gewählte Vektor war nicht in V, ja. Das war einfach ein dummer Fehler.

Meine Fragen sind:

Wie geht das ganze besser?
Was ist schlecht gelöst/aufgeschrieben?

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