Schnittmenge + Orthonormalbasis

05.03.2007, 20:57

Swantje

Schnittmenge + Orthonormalbasis

Wie berechnet man die Schnittmenge??

Und wie berechne ich z.B. von

$\begin{eqnarray*} v1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} v2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix} v3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} v4 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die Orthonormalbasis??

Kann mir einer die Formeln sagen?? Vielen Dank smile

05.03.2007, 21:13

vektorraum

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RE: Schnittmenge + Orthonormalbasis
Hi!

Konkretisiere deine Frage bzgl. der Schnittmenge. Angenommen, du hast zwei Mengen $\begin{eqnarray*} M_1=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_2=\{3,4,5\} \end{eqnarray*}$ , dann kannst du die Schnittmenge leicht angeben durch $\begin{eqnarray*} M_1\cap M_2=\{3\} \end{eqnarray*}$ .

Zur zweiten Frage: hat diese was mit der ersten zu tun??? Bitte klären.
Prüfe, ob die Vektoren eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ bilden. Dazu reicht es die lineare Unabhängigkeit zu zeigen.
Das Verfahren ist das s.g. Gram-Schmidtsche-Orthonormalisierungsverfahren. Ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein euklidischer oder unitärer Vektorraum, und $\begin{eqnarray*} v_1,\ldots,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, so ist durch die Rekursionsgleichung

$\begin{eqnarray*} \widetilde{v_1}=\cfrac{v_1}{\left||v_1\right||} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_{k+1}=v_{k+1}-\sum_{i=1}^{k}~<\widetilde{v_i},v_{k+1}>\widetilde{v_i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \widetilde{v_{k+1}}=\cfrac{w_{k+1}}{\left||w_{k+1}\right||} \end{eqnarray*}$

ein Orthonormalsystem definiert mit $\begin{eqnarray*} <v_1,\ldots,v_n>=<\widetilde{v_1},\ldots,\widetilde{v_n}> \end{eqnarray*}$ .

05.03.2007, 21:42

Swantje

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danke !!

Nein die Erste Frage hatte nichts mit der zweiten Frage zu tun.
Was du zu 1. geschrieben hast, hab ich soweit verstanden.
Und mit 2. muss mich eben noch mal genauer auseinander setzten und versuch es zu verstehen Augenzwinkern

Aufjedenfall danke soweit

05.03.2007, 21:52

vektorraum

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Zitat:

Original von Swantje
danke !!

Nein die Erste Frage hatte nichts mit der zweiten Frage zu tun.
Was du zu 1. geschrieben hast, hab ich soweit verstanden.
Und mit 2. muss mich eben noch mal genauer auseinander setzten und versuch es zu verstehen Augenzwinkern

Aufjedenfall danke soweit

´

Meld dich dann einfach nochmal wenn du Fragen haben solltest wegen dem Verfahren oder du Lösungen hast! Dann schaut mal jemand drüber. Ich weiß nämlich selbst, dass ich mich auch ganz gerne verrechne Augenzwinkern

05.03.2007, 22:09

Swantje

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Danke

29.03.2007, 15:15

misskatha

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Hi!
Hab ne Frage zum gleichen Thema : wie ich denn aus einer gegebenen sym. Matrix eines Skalarproduktes die Vektoren (Basis) herausfinde mit denen ich die Orthonormalbasis (z.B. mit Gram-Schmidt) bestimmen kann....Würde mich super über eine Antwort freuen! Vielen Dank! K

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Schnittmenge + Orthonormalbasis

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