Herleitung der Gausschen Summenformel durch Approximation

10.11.2016, 13:39

viviannitheorem

Herleitung der Gausschen Summenformel durch Approximation

Meine Frage:
Hallo an alle!

Ich hab folgendes Problem: Ich soll die Gaussche Summenformel beweisen indem ich das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^n x dx \end{eqnarray*}$ mit der Trapez-Quadraturformel approximiere. Analog dazu sollte ich dann auch die Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} k^2 \end{eqnarray*}$ herleiten, aber ich glaube wenn ihr mir bei der ersten helfen könntet, würd ich die zweite selbst schaffen.

Meine Ideen:
Ich verstehe das Prinzip der Quadraturformeln und das numerische Approximierens von Integralen mittlerweile recht gut finde ich. Jedoch steh ich vor folgendem Problem: die Trapezformel ist eine Quadraturformel 2. Grades, d.h. sie integriert alle Funktionen mit dem Grad kleinergleich 1 EXAKT. Deswegen ergibt sich durch Anwenden der Quadraturformel bei mir immer das analytisch bestimmbare Integral
$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{2} \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir weiterhelfen? Schon einmal ein großes Dankeschön an euch brilliante Menschen!

10.11.2016, 14:48

klarsoweit

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RE: Herleitung der Gausschen Summenformel durch Approximation

Zitat:

Original von viviannitheorem
Ich soll die Gaussche Summenformel beweisen indem ich das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^n x dx \end{eqnarray*}$ mit der Trapez-Quadraturformel approximiere.

Hm, ich könnte mir eher vorstellen, daß man hier das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1 x ~dx \end{eqnarray*}$ verwenden soll.

Mit der Schrittweite h:= 1/n ist dann $\begin{eqnarray*} \int_0^1 x ~dx = h \cdot \left(\frac 1 2 f(0) + \frac 1 2 f(1) + \sum_{i=1}^{n-1} f(0+i \cdot h) \right) \end{eqnarray*}$ smile

10.11.2016, 15:04

viviannitheorem

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RE: Herleitung der Gausschen Summenformel durch Approximation
Vielen dank für die Antwort! Nur leider kann ich Ihren Gedankengang ganz und gar nicht nachvollziehen! Sollte die Antwort offensichtlich sein, entschuldige ich meine Kurzsichtigkeit und bitte um vielleicht einen kurzen Satz zur Erklärung Ihrer Ausführungen!

mit vielen Grüßen

10.11.2016, 15:15

klarsoweit

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RE: Herleitung der Gausschen Summenformel durch Approximation
Die Rückmeldung verwundert mich ein wenig. Ich habe - wie vorgeschlagen wurde - auf das Integral die Trapezformel angewendet. Nichts anderes steht da.

Übrigens verwenden wir hier das "du". Augenzwinkern

10.11.2016, 15:31

viviannitheorem

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RE: Herleitung der Gausschen Summenformel durch Approximation
Alles klar, das freut mich ;-)

Jedenfalls steh ich dann vollkommen auf der Leitung. Bin mir auch nicht ganz sicher wie du die Trapezformel hier angewendet hast. Würde ich die Trapezformel auf $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} x dx \end{eqnarray*}$ anwenden, so komm ich auf: $\begin{eqnarray*} 1 \cdot \frac{f(0) + f(1)}{2} \end{eqnarray*}$ , da die Gewichte bei der Trapezformel $\begin{eqnarray*} b_1 = b_2 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und die Knochen $\begin{eqnarray*} c_1 = 0, c_2=1 \end{eqnarray*}$ sind. Mit ist nicht ganz klar wo die zusätzliche Summe herkommt. Hattest du vor das Integral von 0 bis n in n Teile zu teilen und anschließend wieder zu summieren? Das wäre ja nämlich das eigentliche Vorgehen bei der Approximation von Integralen. Ich hab das bereits versucht und komme dadurch auf:
$\begin{eqnarray*} b_1=b_2=\frac{1}{2}, & \ c_1 = 0, c_2 = 1 \\ \int_0^n x dx & \approx \sum_{j=0}^{N-1}h_j \sum_{i=1}^sb_i f(x_j + c_i h_j) = \sum_{j=0}^{n} h_j \frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 f(x_j + c_i h_j) = \\ & = \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{2} \left( f(0) + f(0+n) \right) = \frac{n}{2} (0 + n) = \frac{n^2}{2} \end{eqnarray*}$

10.11.2016, 15:47

klarsoweit

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RE: Herleitung der Gausschen Summenformel durch Approximation

Zitat:

Original von viviannitheorem
Bin mir auch nicht ganz sicher wie du die Trapezformel hier angewendet hast. Würde ich die Trapezformel auf $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} x dx \end{eqnarray*}$ anwenden, so komm ich auf: $\begin{eqnarray*} 1 \cdot \frac{f(0) + f(1)}{2} \end{eqnarray*}$

Ich habe auf das Integral die summierte Sehnentrapezregel angewendet. Siehe:
https://de.wikipedia.org/wiki/Trapezrege...nentrapezformel

10.11.2016, 15:53

viviannitheorem

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RE: Herleitung der Gausschen Summenformel durch Approximation
alles klar, ich glaub ich verstehe das missverständnis. in der aufgabe geht es nicht drum ein besonders genaues ergebnis für das problem zu finden, sondern die gaussche summenformel duch anwenden der trapezformel herzuleiten.

10.11.2016, 15:55

klarsoweit

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RE: Herleitung der Gausschen Summenformel durch Approximation
Und genau das geschieht, wenn man mal diese Gleichung:

Zitat:

Original von klarsoweit
Mit der Schrittweite h:= 1/n ist dann $\begin{eqnarray*} \int_0^1 x ~dx = h \cdot \left(\frac 1 2 f(0) + \frac 1 2 f(1) + \sum_{i=1}^{n-1} f(0+i \cdot h) \right) \end{eqnarray*}$ smile

weiter umformt. Augenzwinkern

10.11.2016, 16:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von viviannitheorem
Ich soll die Gaussche Summenformel beweisen indem ich das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^n x dx \end{eqnarray*}$ mit der Trapez-Quadraturformel approximiere.

Ich rätsle ein wenig über Sinn/Unsinn dieser Aufgabe (normalerweise kennt man solche Aufgaben in "umgekehrter Richtung"). verwirrt

Ein solcher Beweis ist doch allenfalls dann so möglich, wenn zusätzlich bekannt ist, dass die Trapez-Quadraturformel für lineare Integrandenfunktionen den Integralwert nicht nur approximiert, sondern exakt berechnet.

Für quadratische Integranden (wie $\begin{align*} \int_0^n x^2 ~ \dd x \end{align*}$ ) gilt das aber nicht, allerdings liefert dort zumindest die Simpsonregel exakte Integralwerte.

10.11.2016, 16:55

viviannitheorem

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Genau das ist mein Problem und ich habe auch genau das in meine ursprüngliche Frage geschrieben. Leider schein ich heute wirklich zu sehr auf der Leitung zu stehen um klarsoweit's Anleitung zu befolgen. Hammer

Ich bedanke mich trotzdem sehr herzlich für die nette Hilfestellung! Freude

11.11.2016, 09:29

klarsoweit

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RE: Herleitung der Gausschen Summenformel durch Approximation

Zitat:

Original von viviannitheorem
$\begin{eqnarray*} \int_0^n x dx & \approx \sum_{j=0}^{N-1}h_j \sum_{i=1}^sb_i f(x_j + c_i h_j) = \sum_{j=0}^{n} h_j \frac{1}{2} \sum_{i=1}^2 f(x_j + c_i h_j) = \\ & = \sum_{j=0}^{n} \frac{1}{2} \left( f(0) + f(0+n) \right) = \frac{n}{2} (0 + n) = \frac{n^2}{2} \end{eqnarray*}$

Noch eine Anmerkung dazu: man kann natürlich auch die summierte Trapezformel auf $\begin{eqnarray*} \int_0^n x ~dx \end{eqnarray*}$ anwenden. Da die Trapezformel lineare Funktionen exakt integriert, gilt mit Schrittweite 1:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 n^2 = \int_0^n x ~dx = \frac 1 2 f(0) + \frac 1 2 f(n) + \sum_{i=1}^{n-1} f(0+i) = \frac n 2 + \sum_{i=1}^{n-1} i \end{eqnarray*}$

Die Umstellung nach der Gaußformel $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1} i \end{eqnarray*}$ ist jetzt nun wirklich kein Hexenwerk. Augenzwinkern

(Sorry, daß ich mich da zu sehr auf das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1 x ~dx \end{eqnarray*}$ gestürzt habe. traurig

)

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